1、2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD2下列方程属于一元二次方程的是（）A（x22）xx2Bax2+bx+c0Cx+5Dx203平面直角坐标系内，点P（2，3）关于原点对称点的坐标是（）A（3，2）B（2，3）C（2，3）D（2，3）4二次函数y（x4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A向上，直线x4，（4，5）B向上，直线x4，（4，5）C向上，直线x4，（4，5）D向下，直线x4，（4，5）5将一元二次方程x24x70配方，所得的方程是（）A（x2）211B（x2）23
2、C（x+2）211D（x+2）236某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A100（1+x）2144B100（1x）2144C144（1+x）2100D144（1x）21007如图，四边形ABCD内接于O，若BCD110，则BOD的度数为（）A35B70C110D1408过O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OP的长为（）A9BC6D39若函数yx2+2xb的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）Ab1且b0Bb1且b0Cb1且b0Db1且b010我们知道，一元二次方程x21没有实数根，即不存在一个
3、实数的平方等于1若我们规定一个新数“i”，使其满足i21（即方程x21有一个根为i）并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1i，i21，i3i2i（1）ii，i4（i2）2（1）21，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1i4ni（i4）nii，i4n+21，i4n+3i，i4n1那么i+i2+i3+i4+i2012+i2013+i2019的值为（）A0B1C1Di二、填空题（本大题共6小题，共24分）11一元二次方程3x（x3）2x21化为一般形式为 12在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，1），将OA绕原点逆时针方向旋转
4、90得OB，则点B的坐标为 13点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数yx22x+m的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“”、“”、“”）14在平面直角坐标系中，将抛物线yx2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，抛物线的解析式为 15如图，点A，B，C，D在O上，CAD30，ACD50，则ADB 16如图，在四边形ABCD中，ABC30，将DCB绕点C顺时针旋转60后，点D的对应点恰好与点A重合，得到ACE，若AB6，BC8，则BD 三、解答题（9小题，共86分）17选用适当的方法，解下列方程：（1）x22x30；（2）2x（x2）x218现将进货为40元的商品按50元
5、售出时，就能卖出500件已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个问为了赚取8000元利润，同时尽量照顾到顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少件？19如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4）、B（3，3）、C（1，1）（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）请画出ABC关于原点对称的A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；（2）请画出ABC绕点B逆时针旋转90后的A2B2C220如图，已知抛物线yx2+x6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）（1）求A、B的坐标；（2）利用函数图象，写出y0时，x的取值范围21如图，O的直径AB为10c
6、m，弦AC为6cm，（1）用尺规作图画出ACB的平分线交O于点D（不要写作法，保留作图痕迹）（2）分别连接点AD和BD，求弦BC、AD、BD的长22参与两个数学活动，再回答问题：活动：观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大？9199，9298，9397，9496，9595，9694，9793，9892，9991活动：观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大？901999，902998，903997，997903，998902，999901（1）分别写出在活动、
7、中你所猜想的是哪个算式的积最大？（2）对于活动，请用二次函数的知识证明你的猜想23已知关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根（1）若m为正整数，求此方程的根（2）设此方程的两个实数根为a、b，若ya（a1）2b2+2b+1，求y的取值范围24（1）如图1，点P是等边ABC内一点，已知PA3，PB4，PC5，求APB的度数分析：要直接求A的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内解：如图2，作PAD60使ADAP，连接PD，CD，则PAD是等边三角形 ADAP3，ADPPAD60ABC是等边三角形ACAB，BAC60BAP ABPAC
8、DBPCD4， ADC在PCD中，PD3，PC5，CD4，PD2+CD2PC2PDC APBADCADP+PDC60+90150（2）如图3，在ABC中，ABBC，ABC90，点P是ABC内一点，PA1，PB2，PC3，求APB的度数（3）拓展应用如图（4），ABC中，ABC30，AB4，BC5，P是ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 25在平面直角坐标系xOy中，直线y4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线yax2+bx3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共
9、点，结合函数图象，求a的取值范围参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C2下列方程属于一元二次方程的是（）A（x22）xx2Bax2+bx+c0Cx+5Dx20【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件对四个选项进行逐一分析：整式方程，即等号两边都是
10、整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2【解答】解：A、方程（x22）xx2中的x2可以被抵消，是一元一次方程，故本选项错误；B、方程ax2+bx+c0，须注明a0，故本选项错误；C、方程x+5分母含有未知数，是分式方程，故本选项错误；D、方程x20含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，故此方程是一元二次方程，故本选项正确故选：D3平面直角坐标系内，点P（2，3）关于原点对称点的坐标是（）A（3，2）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答【解答】解：根据关于原点
11、对称的点的坐标的特点，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，3）故选：D4二次函数y（x4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A向上，直线x4，（4，5）B向上，直线x4，（4，5）C向上，直线x4，（4，5）D向下，直线x4，（4，5）【分析】根据二次函数的性质解题【解答】解：此式为二次函数的顶点式，因为a0，所以开口向上；对称轴为x4，顶点坐标可直接写出为（4，5）故选：A5将一元二次方程x24x70配方，所得的方程是（）A（x2）211B（x2）23C（x+2）211D（x+2）23【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方
12、式，右边化为常数【解答】解：x24x70x24x7x24x+47+4（x2）211故选：A6某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A100（1+x）2144B100（1x）2144C144（1+x）2100D144（1x）2100【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2144故选：A7如图，四边形ABCD内接于O，若BCD110，则BOD的度数为（）A35B70C110D140【分析】根据圆内接四边形
13、的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：四边形ABCD内接于O，A180BCD70，由圆周角定理得，BOD2A140，故选：D8过O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OP的长为（）A9BC6D3【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长【解答】解：如图所示，CDAB于点P根据题意，得AB10cm，CD8cmCDAB，CPCD4cm根据勾股定理，得OP3（cm）故选：D9若函数yx2+2xb的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）Ab1且b0
14、Bb1且b0Cb1且b0Db1且b0【分析】抛物线与x轴，y轴共有3个交点，必定与x轴有两个交点，与y轴的交点不能与x轴的交点重合，即不能为（0，0），于是考虑b24ac0，进而确定b的取值范围【解答】解：函数yx2+2xb的图象与坐标轴有三个交点，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴、y轴的不能为（0，0），22+4b0且b0，解得：b1且b0，故选：A10我们知道，一元二次方程x21没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1若我们规定一个新数“i”，使其满足i21（即方程x21有一个根为i）并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i
15、1i，i21，i3i2i（1）ii，i4（i2）2（1）21，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1i4ni（i4）nii，i4n+21，i4n+3i，i4n1那么i+i2+i3+i4+i2012+i2013+i2019的值为（）A0B1C1Di【分析】原式利用题中的新定义化简，四项结合计算即可得到结果【解答】解：由题意得，i1i，i21，i3i2i（1）ii，i4（i2）2（1）21，i5i4ii，i6i5i1，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，5043，i+i2+i3+i4+i2018+i2019i1i1故选：C二填空题（共6小题）11一元二次方程3x（x3）2x21化为一般形式
16、为x29x+10【分析】把方程化为ax2+bx+c0（a0）的形式即可【解答】解：去括号得，3x29x2x21，移项得，3x29x2x2+10，合并同类项得，x29x+10，故答案为x29x+1012在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，1），将OA绕原点逆时针方向旋转90得OB，则点B的坐标为（1，4）【分析】直接利用旋转的性质得出B点位置，进而得出答案【解答】解：如图所示：点B的坐标为：（1，4）故答案为：（1，4）13点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数yx22x+m的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“”、“”、“”）【分析】抛物线开口向上，且对称轴为
17、直线x1，根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧，y随x的增大而增大【解答】解：二次函数的解析式为yx22x+m（x1）2+m1，该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x1点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数yx22x+m的图象上两点，且123，y1y2故答案为：14在平面直角坐标系中，将抛物线yx2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，抛物线的解析式为y（x2）2+2【分析】先确定抛物线yx2的顶点坐标为（0，0），再通过点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（2，2），然后利用顶点式写出平移后得到的抛物线解析式【解答】解：抛物线yx2的顶点坐标为（0，0），把点
18、（0，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（2，2），所以平移后得到的抛物线解析式为y（x2）2+2故答案为：y（x2）2+215如图，点A，B，C，D在O上，CAD30，ACD50，则ADB70【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACBADB180CABABC，进而得出答案【解答】解：，CAD30，CADCAB30，DBCDAC30，ACD50，ABD50，ACBADB180CABABC18050303070故答案为：7016如图，在四边形ABCD中，ABC30，将DCB绕点C顺时针旋转60后，点D的对应点恰好与点A重合，得到ACE，若AB6，BC8，则B
19、D10【分析】连接BE，由将DCB绕点C顺时针旋转60后得到ACE，可得BDAE，BCE是等边三角形，可得CBE60，BE8，根据勾股定理可得AE的长度，即BD的长度【解答】解：如图：连接BE将DCB绕点C顺时针旋转60后得到ACEBCCE，BCE60BCE是等边三角形CBE60，BEBC8，BDAEABC30ABE90且AB6AE10BDAE10故答案为：10三解答题（共9小题）17选用适当的方法，解下列方程：（1）x22x30；（2）2x（x2）x2【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用因式分解法提公因式法进行解方程即可【解答】解：（1）原方程可变形为：（x3）（x+1）0，整理得
20、：x30或x+10，x13，x21；（2）移项得，2x（x2）（x2）0，提公因式得，（x2）（2x1）0，x20或2x10，x12，x218现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个问为了赚取8000元利润，同时尽量照顾到顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少件？【分析】总利润销售量每个利润，设售价x元能赚得8000元的利润，应进货50010（x50）个，根据为了赚得8000元的利润，可列方程求解【解答】解：设售价x元能赚得8000元的利润，应进货50010（x50）个，由题意得：50010（x50）（x40）8000，解得：x1
21、60，x280（舍去），当x60时，进货50010（6050）400件，答：售价定为60元时应进货400件19如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4）、B（3，3）、C（1，1）（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）请画出ABC关于原点对称的A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；（2）请画出ABC绕点B逆时针旋转90后的A2B2C2【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可【解答】解：（1）如图，A1B1C1为所作，点A1，B1，C1的坐标分别为（
22、1，4），（3，3），（1，1）；（2）如图，A2B2C2为所作20如图，已知抛物线yx2+x6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）（1）求A、B的坐标；（2）利用函数图象，写出y0时，x的取值范围【分析】（1）令y0代入yx2+x6即可求出x的值，此时x的值分别是A、B两点的横坐标（2）根据图象可知：y0是指x轴下方的图象，根据A、B两点的坐标即可求出x的范围【解答】21解：（1）令y0，即x2+x60解得x3或x2，点A在点B的左侧点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，0）（2）当y0时，x的取值范围为：3x221如图，O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，（1）用尺规作图画出
23、ACB的平分线交O于点D（不要写作法，保留作图痕迹）（2）分别连接点AD和BD，求弦BC、AD、BD的长【分析】（1）作ACB的平分线交O于点D（2）根据勾股定理计算BC和AD、BD的长【解答】解：（1）如图1，CD即为所求；（2）如图2，AB是直径，ACBADB90，在RtABC中，AB2AC2+BC2，AB10cm，AC6cm，BC2AB2AC21026264，BC8cm，又CD平分ACB，ACDBCD，ADBD，又在RtABD中，AD2+BD2AB2，AD2+BD2102，ADBD522参与两个数学活动，再回答问题：活动：观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和
24、等于10），猜想其中哪个积最大？9199，9298，9397，9496，9595，9694，9793，9892，9991活动：观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大？901999，902998，903997，997903，998902，999901（1）分别写出在活动、中你所猜想的是哪个算式的积最大？（2）对于活动，请用二次函数的知识证明你的猜想【分析】（1）的结果可根据整数乘法的运算法则，计算出大小在比较；的结果由的规律可得结果；（2）可将中的算式设为（90+x）（100x）的形式（x1，2，3，4，5，6，7，
25、8，9），利用二次函数的最值证得结论【解答】（1）解：91999009，92989016，93979021，94969024，95959025，9595的积最大；由中规律可得950950的积最大；（2）证明：将中的算式设为（90+x）（100x）（x1，2，3，4，5，6，7，8，9），（90+x）（100x）x2+10x+9000（x5）2+9025a0，当x5时，有最大值9025，即9595的积最大23已知关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根（1）若m为正整数，求此方程的根（2）设此方程的两个实数根为a、b，若ya（a1）2b2+2b+1，求y的取值范围【分析】（1）根据方程的系数
26、结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数可得出m的值，将其代入原方程，再利用配方法解该方程，即可得出结论；（2）根据一元二次方程的解，可得出a2am，b2bm，将其代入ya（a1）2b2+2b+1a2a2（b2b）+1中，可得出ym+1，再结合m1，即可得出y的取值范围【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2x+m0有两个实数根，（1）241m0，解得：m1又m为正整数，m1当m1时，原方程为x2x+0，即（x）20，解得：x1x2（2）此方程的两个实数根为a，b，a2am，b2bm，ya（a1）2b2+2b+1a2a2（b2b）+1m+1又m
27、1，y24（1）如图1，点P是等边ABC内一点，已知PA3，PB4，PC5，求APB的度数分析：要直接求A的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内解：如图2，作PAD60使ADAP，连接PD，CD，则PAD是等边三角形PDADAP3，ADPPAD60ABC是等边三角形ACAB，BAC60BAPCADABPACDBPCD4，APBADC在PCD中，PD3，PC5，CD4，PD2+CD2PC2PDC90APBADCADP+PDC60+90150（2）如图3，在ABC中，ABBC，ABC90，点P是ABC内一点，PA1，PB2，PC3，求AP
28、B的度数（3）拓展应用如图（4），ABC中，ABC30，AB4，BC5，P是ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解决问题即可（2）如图3中，把PBC绕B点逆时针旋转90得到DBA，利用勾股定理的逆定理证明APD90即可解决问题（3）如图4中，先由旋转的性质得出ABPDBE，则ABPDBE，BDAB4，PBE60，BEPE，APDE，再证明DBC90，然后在RtBCD中，由勾股定理求出CD的长度，即为PA+PB+PC的最小值；【解答】解：（1）如图2，作PAD60使ADAP，连接PD，CD，则PAD是等边三角形PDADA
29、P3，ADPPAD60ABC是等边三角形ACAB，BAC60，BAPCAD，ABPACD（SAS）BPCD4，APBADC在PCD中，PD3，PC5，CD4，PD2+CD2PC2PDC90APBADCADP+PDC60+90150故答案为：PD，CAD，APB，90（2）解：ABC90，BCAB，把PBC绕B点逆时针旋转90得到DBA，如图，ADPC3，BDBP2，PBD90DPPB2，DPB45，在APD中，AD3，PD2，PA1，12+（2）232，AP2+PD2BD2，APD为直角三角形，APD90，APBAPD+DPB90+45135（3）解：如图4中，将ABP绕着点B逆时针旋转60，
30、得到DBE，连接EP，CD，ABPDBEABPDBE，BDAB4，PBE60，BEPE，APDE，BPE是等边三角形EPBPAP+BP+PCPC+EP+DE当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CDABC30ABP+PBCDBE+PBC30DBC90CD，故答案为25在平面直角坐标系xOy中，直线y4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线yax2+bx3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移
31、的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：a0；a0，抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解【解答】解：（1）与y轴交点：令x0代入直线y4x+4得y4，B（0，4），点B向右平移5个单位长度，得到点C，C（5，4）；（2）与x轴交点：令y0代入直线y4x+4得x1，A（1，0），点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（1，0）代入抛物线yax2+bx3a中得0ab3a，即b2a，抛物线的对称轴x1；（3）抛物线yax2+bx3a经过点A（1，0）且对称轴x1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），a0时，如图1，将x0代入抛物线得y3a，抛物线与线段BC恰有一个公共点，3a4，a，将x5代入抛物线得y12a，12a4，a，a；a0时，如图2，将x0代入抛物线得y3a，抛物线与线段BC恰有一个公共点，3a4，a；当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4a2a3a，解得a1综上所述，a或a或a1