1、3.3几何概型1.在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是_.解析圆的面积S1，内接正方形的面积S22，则概率P.答案2.某轻轨车站每隔5分钟有一辆轻轨车通过，乘客随机地来到该车站候车，则乘客候车时间不大于3分钟的概率为_.解析由于乘客在5分钟内的任一时刻到达都是等可能的，符合几何概型的等可能性和无限性.同时，只有一个因素时间在变，所以用一维几何量长度来测量.由题意，得乘客候车时间不大于3分钟的概率为.答案3.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是_.解析由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半
2、圆内的概率P.答案4.如图所示，在直角坐标系内，射线OT是60角xOT的终边，任作一条射线OA，则射线OA落在xOT内的概率为_.解析记B射线OA落在xOT内，则事件B构成的区域是xOT，全部试验结果构成的区域是周角.xOT60，P(B).答案5.如图所示，向面积为10的正方形内随机地撒1 000颗芝麻，落在区域A内的芝麻数为320，则估计区域A的面积大小为_.解析设区域A的面积为S.由于，因此有，解得S3.2.故估计区域A的面积为3.2.答案3.26.在转盘游戏中，假设有红、绿、蓝三种颜色.在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问：若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列
3、，要使赢的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解因为赢的概率为，所以红色所占角度为周角的，即172.同理，蓝色占周角的，即2120，所以绿色所占角度336012072168.将3分成四等份，得168442，即每个绿色扇形的圆心角为42.7.如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.解弦长不超过1，故OQ，因为Q点在直径AB上是随机的，设事件A为“弦长长度超过1”，由几何概型的计算公式得，P(A).所以弦长长度不超过1的概率为1.能力提升8.在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的
4、概率为_.解析不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.答案9.如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_.解析如图所示，连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA2.由题意知CAB且S弓形ACS弓形BCS弓形OC，所以S空白SOAB222.又因为S扇形OAB22，所以S阴影2，所以P1.答案110.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则_.解析如图，当ABBM或AQAB时，ABP为等腰三角形.
5、要使“APB的最大边是AB”发生的概率为，则有(即点P落在线段MQ上时，事件“APB的最大边是AB”发生)，则DQDCAB.此时AQAB，所以AQ2DQ2AD2，即AB22AD2，所以AB2AD2，即，所以.答案11.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答).解析设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足xy5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为4
6、00，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为1515，故所求概率P.答案12.平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线.把一枚半径ra的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.解设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A.如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰.故P(A).13.(选做题)把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.解设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，axy，则(x，y)满足的条件为它所构成的区域为图中的AOB.设事件M能构成一个三角形，则当(x，y)满足下列条件时，事件M发生.即它所构成的区域为图中的阴影部分，故P(M).故满足条件的概率为.