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2019苏教版高中数学必修四《第二章 平面向量》章末检测试卷(含答案)

1、章末检测试卷(二)(时间:120分钟满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1已知向量(3,7),(2,3),则_.答案解析()(3,7)(2,3).2已知向量a(1,1),b(2,x),若ab与ab平行,则实数x_.答案2解析ab(3,1x),ab(1,1x),根据题意有3(1x)(1x),解得x2.3已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为_答案解析由已知,得(3,4),所以|5,因此与同方向的单位向量是.4已知平面向量a(x1,y1),b(x2,y2),若|a|2,|b|3,ab6,则的值为_答案解析设a,b的夹角为,则ab|a|b|cos

2、 6cos 1,即a,b共线且反向,ab,x1x2,y1y2,.5向量a(1,1),b(1,2),则(2ab)a_.答案1解析2ab(2,2)(1,2)(1,0),(2ab)a(1,0)(1,1)1.6已知向量|a|1,|b|2,ab,则|ab|_.答案解析|ab|.7已知|a|1,|b|6,a(ba)2,则向量a与b的夹角为_答案解析设a与b的夹角为。a(ba)aba22,|a|1,ab2a23,|b|6,cos ,0,向量a与b的夹角为.8已知向量a,b,若ab,则锐角为_答案30解析ab,sin2,sin .又为锐角,30.9若非零向量a,b满足|a|b|,且(ab)(3a2b),则a与

3、b的夹角为_答案解析由(ab)(3a2b),得(ab)(3a2b)0,即3a2ab2b20.|a|b|,设a,b,即3|a|2|a|b|cos 2|b|20,|b|2|b|2cos 2|b|20,cos .又0,.10设向量a,b不平行,向量ab与a2b平行,则实数_.答案解析ab与a2b平行,abt(a2b)ta2tb,11如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为_N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力,则合力的坐标为_答案(5,4)解析F1(2,3),F2(3,1),所以合力FF1F2(2,3)(3,1)(5,4),所以合力的大小为(N)12如图所示,半圆的直径AB2,O为圆心,C是半圆

4、上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()的最小值是_答案解析因为点O是A,B的中点,所以2,设|x,则|1x(0x1),所以()22x(1x)22.所以当x时,()取到最小值.13若a,b,c均为单位向量,且ab0,(ac)(bc)0,则|abc|的最大值为_答案1解析由已知可设a(1,0),b(0,1),c(x,y)由|c|1,(ac)(bc)0得xy1.所以|abc|1.14ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足2a,2ab,则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)a为单位向量;b为单位向量;ab;b;(4ab).答案解析24|a|24,|a|1,故正确;

5、(2ab)2ab,又ABC为等边三角形,|b|2,故错误;b,ab()22cos 602210,故错误;b,故正确;()()22440,(4ab),故正确二、解答题(本大题共6小题,共90分)15(14分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知2e1ke2,e13e2,2e1e2,若A,B,D三点共线,求k的值解A,B,D三点共线,即(),2e1ke2(2e1e2e13e2)(e14e2),k8.16(14分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2)(1)若|b|2,且ab,求b的坐标;(2)若|c|,且2ac与4a3c垂直,求a与c的夹角.解(1)设b(x,y),因为ab,所以y

6、2x.又因为|b|2,所以x2y220.由联立,解得b(2,4)或b(2,4)(2)由已知(2ac)(4a3c),得(2ac)(4a3c)8a23c22ac0,由|a|,|c|,解得ac5,所以cos ,0,所以a与c的夹角.17(14分)如图所示,在ABC中,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和;(2)如果,求实数和的值;(3)确定点P在边BC上的位置解(1)由,可得.,.(2)将,代入,则有,即(1)(1),与不共线,解得(3)设m,n.由(2)知,nnmmm,与不共线,解得,即2,点P是BC的三等分点且靠近点C处18(16分)已知在ABC中,C是直角,

7、CACB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE2EB,求证:ADCE.证明建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),则B(0,a),E(x,y)D是BC的中点,D.又2,即(xa,y)2(x,ay),解得x,ya.(a,0),aaa2a20.,即ADCE.19(16分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a(2,1),A(1,0),B(cos ,t)(1)若a,且|,求向量的坐标;(2)若a,求ycos2cos t2的最小值解(1)(cos 1,t),a,2tcos 10.cos 12t.|,(cos 1)2t25.由,得t21,t1.当t1时,cos 3(舍去),当t1时,cos 1,B(1,1),(1,1)(2)由(1)可知t,ycos2cos cos2cos 2,当cos 时,ymin.20(16分)在ABC中,已知A(2,4),B(1,2),C(4,3),ADBC于点D.(1)求点D的坐标;(2)求证:AD2BDDC.(1)解设D点坐标为(x,y),则(x2,y4),(5,5),(x1,y2)因为ADBC,所以0,即5(x2)5(y4)0.所以xy6.又因为B,D,C三点共线,所以,所以5(x1)5(y2)0,所以xy1.联立,解得所以点D的坐标为.(2)证明因为,所以|2,| ,|,从而|.故|2|,即AD2BDDC.