1、章末检测(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A.4 B.3 C.2 D.0解析a(2ab)2a2ab2(1)3，故选B.答案B2.下列说法中正确的有()共线向量就是向量所在的直线在同一平面内；长度相等的向量叫做相等向量；零向量的长度为零.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析共线向量就是平行向量，故说法是错的；相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故说法是错的；正确的只有.答案B3.已知|a|3，|b|5，如果ab，则ab()
2、A.15 B.15 C.15或15 D.1解析根据平行向量的概念知a，b的夹角为0或180，ab35cos 015，或ab35cos 18015.答案C4.如果a(1，x)，b(1，3)，且(2ab)(a2b)，则x值为()A.3 B.3 C.2 D.2解析2ab(1，2x3)，a2b(3，x6)；又(2ab)(a2b)，1(x6)(2x3)30，解得x3.答案A5.已知a(2，1)，b(3，x)，若(2ab)b，则x的值为()A.1 B.3 C. D.1或3解析由a(2，1)，b(3，x)，得2ab(1，2x)；(2ab)b，(2ab)b0，即13(2x)x0，解得x1或3.答案D6.非零向
3、量a，b不共线，ckab，dakb(kR)，若cd，则k为()A.1 B. C.2 D.解析cd，由向量共线得：cd(R)，即：kab(akb)，(k)a(1k)b0，又a，b不共线，由平面向量基本定理得k1.答案A7.若a(2，3)，b(4，7)，则a在b方向上的投影为()A. B. C. D.解析设a，b的夹角为，则cos ，故a在b方向上的投影为|a|cos .或直接根据计算a在b方向上的投影.答案C8.e1，e2是平面内不共线的两向量，已知e1ke2，2e1e2，3e1e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A.2 B.2 C.10 D.10解析A，B，D三点共线，与共线，存在实数，
4、使得.3e1e2(2e1e2)e12e2，e1ke2(e12e2).e1，e2是平面内不共线的两向量，解得k2.答案B9.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.解析法一如图所示，()()，故选A.法二()，故选A.答案A10.在ABC中，a5，b8，C60，则的值为()A.20 B.20 C.10 D.10解析由题意可知与的夹角为180C18060120，|cos 1205820.答案B11.在四边形ABCD中，(1，1)，则此四边形的面积等于()A.4 B.2 C. D.2解析因为，所以四边形ABCD为平行四边形.又因为，所以四边形ABCD为正方形，所以
5、四边形ABCD的面积S|22.答案D12.在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值为()A.1 B.1C.3 D.4解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又(1，0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)之间距离的最大值.圆心C(3，0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.若|a|5，|b|8，a与b的夹角为60，则|ab|_.解析ab|a|
6、b|cos 605820，|ab|2(ab)2|a|2|b|22ab129，|ab|.答案14.下列说法中错误的是_(请写出所有错误说法的序号).ab0，则a0或b0；(ab)ca(bc)；p2q2(pq)2.解析ab时，ab0，当ab0时不能得出a0或b0，是错误的；ab是数量，所以(ab)c为一个向量，并且此向量与c共线；虽然a(bc)也是一个向量，但它与a共线，(ab)c不一定与a(bc)相等，是错误的；p2q2|p|2|q|2，(pq)2|p|2|q|2cos2 (为p与q的夹角)，当且仅当pq时，p2q2(pq)2才成立，是错误的.本题三种说法均不正确.答案15.以原点O及点A(5，
7、2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A90，则的坐标为_.解析设(x，y)，则由|而又由得5x2y0.由联立得x2，y5或x2，y5.(2，5)或(2，5)答案(2，5)或(2，5)16.定义p*q是向量p和q的“向量积”，它的长度|p*q|p|q|sin ，其中为向量p和q的夹角，若a(2，0)，ab(1，)，则|a*(ab)|_.解析由a(2，0)，ab(1，)，得b(1，)；ab(3，)，a和ab的夹角的余弦为cos ，30，|a*(ab)|2sin 302.答案2三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图：已知MN是ABC的中位
8、线，求证：MNBC，且MNBC.证明MN是ABC的中位线，；()，MNBC，且MNBC.18.(12分)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，c5a3b，d3akb，当实数k为何值时，(1)cd；(2)cd?解由题意得ab|a|b|cos 60233.(1)当cd时，cd，则5a3b(3akb)，35，且k3，k.(2)当cd时，cd0，则(5a3b)(3akb)0.15a23kb2(95k)ab0，1543k9(95k)30，k.19.(12分)已知ABC中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，求点D和向量的坐标.解设D(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)
9、，0，6(x2)3(y1)0，即2xy30，(x3，y2)，与共线，6(y2)3(x3)，即x2y10，由得：D(1，1)，(1，2).20.(12分)如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b，(1)以a，b为一组基底来表示，；(2)求证：B，E，F三点共线.(1)解()ab，ab，b，ab，ba.(2)证明由(1)知，又与有共同的起点，B，E，F三点共线.21.(12分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值.(1)证明由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b
10、2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因为ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得cos cos()，由0，得0，又0，所以，.22.(12分)某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当以每小时2a公里的速度向东行驶时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.解设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，则无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此人以每小时a公里的速度向东行驶时感到的风速为va，此人感到风从正北方向吹来，va的方向为正南方向，同理，v2a的方向为西南方向.设a，2a，v，如图所示，由平行四边形法则知：va，v2a，由题意：DOC45；由平面几何知识易证OCP是等腰直角三角形，且CPa，POa，即|v|a；v的方向为东南方向，即西北风，实际风速是a的西北风.