1、2019-2020学年浙江省湖州四中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1（3分）（2019春鼓楼区校级期中）下列说法正确的是A任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是必然事件B明天的降水概率为，则“明天下雨”是确定事件C篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件D是实数，则“”是不可能事件2（3分）（2017金华）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A对称轴是直线，最小值是2B对称轴是直线，最大值是2C对称轴是直线，最小值是2D对称轴是直线，最大值是23（3分）（2019秦安县
2、模拟）下列二次函数的图象通过平移能与二次函数的图象重合的是ABCD4（3分）（2019春朝阳区校级期末）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是ABCD5（3分）（2019秋吴兴区校级月考）笔筒中有9支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号试3的倍数的概率是ABCD6（3分）（2019碑林区校级模拟）已知，是二次函数图象上的两点，若且，则当自变量的值取时，函数值为ABCD7（3分）（2019陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为A，B，C，D，8（3分）（2019南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程（单位：与时间（单
3、位：的函数图象，其中曲线段是以为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是A，王阿姨步行的路程为B线段的函数解析式为C，王阿姨步行速度由慢到快D曲线段的函数解析式为9（3分）（2019秋吴兴区校级月考）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线有以下结论：；若，是抛物线上的两点，当时，；若方程的两根为，且，则其中结论正确的有A1个B2个C3个D4个10（3分）（2019春崇川区校级期末）已知：如图，直线，为常数）分别与轴、轴交于点，抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，的最小值是A2B4C2.5D3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11（3分）（2019秋吴兴区校
4、级月考）函数图象的顶点坐标是12（3分）（2019盘锦）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则的值约为13（3分）（2019春雨花区校级期中）已知，则函数的取值范围是14（3分）（2019春雨花区校级期末）若函数，则当函数值时，自变量的值等于15（3分）（2019商南县二模）如图，菱形的边长为8，点是上一动点（不与、重合），点是上一动点，且，则面积的最大值为16（3分）（2019井研县模拟）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐
5、标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点的特征线有：，如图所示，在平面直角坐标系中有正方形，点在第一象限，、分别在轴和轴上，抛物线经过、两点，顶点在正方形内部（1）写出点任意两条特征线为；（2）若点有一条特征线是，则此抛物线的解析式为三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17（2018秋黔东南州期末）将抛物线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线（1）直接写出平移后的抛物线的解析式；（2）求出与轴的交点坐标；（3）当时，写出的取值范围18（2019秋吴兴区校级月考）已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点坐标为点，
6、为它的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积19（2019秋吴兴区校级月考）叶老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：优秀；：良好；：一般；：较差并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，叶老师一共调查了名学生，其中类女生有名，类男生有名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）在此次调查中，小明、小芳属于类为了进步，他们请叶老师从被调查的类学生中随机选取两位同学，和他们进行“一帮一”的课后互助学习请结合树状图或者列表，求出所选的同学恰好有一位女同学的概率20（2017秋安陆市
7、期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足的的取值范围21（2019秋吴兴区校级月考）已知，抛物线经过点和（1）求抛物线的解析式；（2）设点在抛物线的对称轴上，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标22（2019盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价（元与月份，且为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示每千克猪肉的成本（元与月份，且为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最
8、低，为9元，如图所示月份3456售价元12141618（1）求与之间的函数关系式（2）求与之间的函数关系式（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为（元，求与之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？23（2019北碚区校级一模）阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数、，我们将与的“友好数”用表示，定义为：，例如17与16的友好数为材料二：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：，（1）由材料一知：与1的“友好数”可以用，表示，已知，请求出的值；（2）已知，请求出实数的取值范围；（3）已知实数、满足条件，且，请求的最小值24（2019邯郸
9、三模）如图（1），在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过，两点，与轴的另一交点为点（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）如图（2），作抛物线，使得抛物线与恰好关于原点对称，与在第一象限内交于点，连接，请直接写出抛物线的解析式和点的坐标求四边形的面积；（3）已知抛物线的顶点为，设为抛物线对称轴上一点，为直线上一点，是否存在以点，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由2019-2020学年浙江省湖州四中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
10、1（3分）（2019春鼓楼区校级期中）下列说法正确的是A任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是必然事件B明天的降水概率为，则“明天下雨”是确定事件C篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件D是实数，则“”是不可能事件【考点】16：非负数的性质：绝对值；：随机事件；：概率公式【专题】543：概率及其应用【分析】利用随机事件及必然事件的定义确定正确的选项即可【解答】解：、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是随机事件，故原命题错误；、明天的降水概率为，则“明天下雨”是随机事件，故原命题错误；、篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件，正确；、是实
11、数，则“”是必然事件，故原命题错误；故选：【点评】考查了概率公式的知识，解题的关键是确定有关事件的定义，难度不大2（3分）（2017金华）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A对称轴是直线，最小值是2B对称轴是直线，最大值是2C对称轴是直线，最小值是2D对称轴是直线，最大值是2【考点】：二次函数的性质；：二次函数的最值【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【解答】解：由抛物线的解析式：，可知：对称轴，开口方向向下，所以有最大值，故选：【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型3（3分）（2019秦安县模拟）下列二次函数的图象通过平移能与二次函
12、数的图象重合的是ABCD【考点】：二次函数图象与几何变换【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】根据经过平移后能与抛物线重合可知，然后根据平移的性质作出选择【解答】解：经过平移后能与二次函数的图象重合，观察选项，只有选项符合题意故选：【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式4（3分）（2019春朝阳区校级期末）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是ABCD【考点】：二次函数图象上点的坐标特征【专题】5
13、35：二次函数图象及其性质【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断【解答】解：当时，；当时，；所以故选：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式5（3分）（2019秋吴兴区校级月考）笔筒中有9支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号试3的倍数的概率是ABCD【考点】：概率公式【专题】543：概率及其应用【分析】由标有的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得【解答】解：在标有的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，抽到编号是
14、3的倍数的概率是，故选：【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数6（3分）（2019碑林区校级模拟）已知，是二次函数图象上的两点，若且，则当自变量的值取时，函数值为ABCD【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象与系数的关系【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，则可判断，和，关于直线对称，所以，即，然后计算自变量为2对应的函数值即可【解答】解：抛物线的对称轴为直线，且，和，关于直线对称，当时，故选：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小
15、当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左； 当与异号时，对称轴在轴右常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于7（3分）（2019陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为A，B，C，D，【考点】：二次函数图象与几何变换【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】根据关于轴对称，不变，变为相反数列出方程组，解方程组即可求得【解答】解：抛物线与关于轴对称，解之得，故选：【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意列出方程组是解题的关键8（3分）（2019南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程（单
16、位：与时间（单位：的函数图象，其中曲线段是以为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是A，王阿姨步行的路程为B线段的函数解析式为C，王阿姨步行速度由慢到快D曲线段的函数解析式为【考点】：二次函数的应用【专题】532：函数及其图象【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可【解答】解：、，王阿姨步行的路程为，故错误；、设线段的函数解析式为，把，代入得，解得：，故错误；、在点的速度为，在点的速度为，故错误；、当时，由图象可得，将代入得，两者矛盾，故错误故选：【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键9（3分）（2019秋吴兴区校级月
17、考）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线有以下结论：；若，是抛物线上的两点，当时，；若方程的两根为，且，则其中结论正确的有A1个B2个C3个D4个【考点】：根与系数的关系；：根的判别式；：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象与系数的关系；：抛物线与轴的交点【专题】65：数据分析观念；535：二次函数图象及其性质【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由图象可知：，故正确；抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，当时，故错误；，是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：，当时，故正确；图象过点，对称轴为直线抛物线与轴的另外一个交点坐标为，若方程，即方程的两根为，则、为抛
18、物线与直线的两个交点的横坐标，故错误；故选：【点评】本题考查二次函数图象和性质的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型10（3分）（2019春崇川区校级期末）已知：如图，直线，为常数）分别与轴、轴交于点，抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，的最小值是A2B4C2.5D3【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：一次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的性质；：轴对称最短路线问题；：坐标与图形变化平移【专题】31：数形结合；535：二次函数图象及其性质；35：转化思想；558：平移、旋转与对称【分析】设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，
19、则可知当、三点一线且与垂直时最小，由点坐标可确定出，点的坐标，即可求得的最小值【解答】解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，当、三点共线且时最小，直线，为常数）分别与轴、轴交于点，解得，直线解析式为；抛物线与轴交于点，可设直线的解析式为，由，解得，即的最小值为4故选：【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11（3分）（2019秋吴兴区校级月考）函数图象的顶点坐标是【考点】：二次函数的性质【专题】535
20、：二次函数图象及其性质【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标【解答】解：函数，二次函数图象的顶点坐标是故答案为：【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等12（3分）（2019盘锦）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则的值约为30【考点】：利用频率估计概率【专题】543：概率及其应用【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定
21、在左右得到比例关系，列出方程求解即可【解答】解：由题意可得，解得，故答案为：30【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系13（3分）（2019春雨花区校级期中）已知，则函数的取值范围是【考点】：二次函数的性质【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和的取值范围，可以求得函数值的取值范围【解答】解：，该函数的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数的取值范围是，故答案为：【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答14（3分）（
22、2019春雨花区校级期末）若函数，则当函数值时，自变量的值等于4或【考点】：二次函数的性质【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】因为不知道的取值范围，所以需要讨论，从而在两种情况下分别求出符合条件的的值【解答】解：当时，解得：；当时，解得：故答案为：4或【点评】本题考查函数值的知识，属于基础题，解答此类题目的关键是讨论的取值范围，避免漏解15（3分）（2019商南县二模）如图，菱形的边长为8，点是上一动点（不与、重合），点是上一动点，且，则面积的最大值为【考点】：菱形的性质；：二次函数的应用；：三角形的面积【专题】536：二次函数的应用【分析】首先过点作交的延长线于点，由菱形的边长为8，
23、即可求得，然后设，即可得，然后根据二次函数的性质，即可求得答案【解答】解：过点作交的延长线于点，菱形边长为8，设，；，在中，当时，面积的最大，最大值为故答案为：【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用16（3分）（2019井研县模拟）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点的特征线有：，如图所示，在平面直角坐标系中有正方形，点在第一象限，、分别在轴和轴上，抛物线经过、两点，顶点在正方形内部（1）写出点任意两条特征线为，
24、；（2）若点有一条特征线是，则此抛物线的解析式为【考点】：正方形的性质；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的性质【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】（1）根据特征线直接求出点的特征线；（2）由点的一条特征线和正方形的性质求出点的坐标，从而求出抛物线解析式【解答】解：（1）点，点是，故答案为，；（2）点有一条特征线是，抛物线解析式为，四边形是正方形，且点为正方形的对称轴，将带入得到，；，抛物线解析式为故答案为【点评】此题是二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点的坐标三、解
25、答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程）17（2018秋黔东南州期末）将抛物线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线（1）直接写出平移后的抛物线的解析式；（2）求出与轴的交点坐标；（3）当时，写出的取值范围【考点】：二次函数图象与几何变换；：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】（1）利用点平移规律写出平移后的顶点坐标为，然后利用顶点式写出抛物线的解析式；（2）通过解方程得与轴的交点坐标；（3）利用函数图象写出抛物线在轴上方对应的自变量的范围即可【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为；（2）当时，解得，所以
26、与轴的交点坐标为，；（3）当时，【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程也考查了二次函数的性质18（2019秋吴兴区校级月考）已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点坐标为点，为它的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：抛物线与轴的交点【专题】11：计算题【分析】（1）设交点式，然后把代入求出即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出点的坐标，再利用三角形面积公式求解【解答】解：（1）设抛物线解析式为，把代入得，解得，所以抛物线解析式为；（2），则所以的面
27、积【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：从二次函数的交点式：，是常数，可直接得到抛物线与轴的交点坐标，19（2019秋吴兴区校级月考）叶老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：优秀；：良好；：一般；：较差并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，叶老师一共调查了20名学生，其中类女生有名，类男生有名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）在此次调查中，小明、小芳属于类为了进步，他们请叶老师从被调查的类学生中随机选取两位同学，和他们进行“一帮一”的课后互助学习请结合树状图或者列表，求
28、出所选的同学恰好有一位女同学的概率【考点】：扇形统计图；：条形统计图；：列表法与树状图法【专题】543：概率及其应用【分析】（1）由类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得类别男生人数；（2）根据（1）中所求结果可补全图形；（3）画出树状图，根据概率公式计算可得【解答】解：（1）杨老师调查的学生总人数为人，类女生人数为人，类男生人数为人，故答案为：20、2、1；（2）补全图形如下：（3）所有等可能结果：男女、男女、女男、女女、女男、女女，所选的同学恰好有一位女同学的概率【点评】此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识用到
29、的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比20（2017秋安陆市期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足的的取值范围【考点】：待定系数法求一次函数解析式；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数与不等式（组【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】（1）将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，再根据二次函数解析式求出点的坐标，然后求出点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；（2）根据函数图象点以及点右边的部分，点以及点左边的部分的自变量
30、的取值范围即为不等式的解集【解答】解：（1）抛物线经过点，抛物线解析式为，点坐标，对称轴，、关于对称轴对称，点坐标，经过点、，解得，一次函数解析式为；（2）由图象可知，满足的的取值范围为或【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，难点在于求出点的坐标21（2019秋吴兴区校级月考）已知，抛物线经过点和（1）求抛物线的解析式；（2）设点在抛物线的对称轴上，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标【考点】：二次函数综合题【专题】153：代数几何综合题；537：函数的综合应用【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设点
31、的坐标为，则，分和两种情况，利用勾股定理可得出关于的方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标【解答】解：（1）将、代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为（2），设点的坐标为，则，分两种情况考虑：当时，有，即，解得：，点的坐标为；当时，有，即，解得：，点的坐标为综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为或【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的点的坐标特征以及勾股定理等知识点22（2019盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价（元与月份，且为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示每千克猪
32、肉的成本（元与月份，且为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示月份3456售价元12141618（1）求与之间的函数关系式（2）求与之间的函数关系式（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为（元，求与之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？【考点】：二次函数的应用【专题】536：二次函数的应用【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将，代入解方程组即可得到结论；（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为，设与之间的函数关系式为：，将代入得，解方程即可得到结论；（3）由题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：（1）设与之间
33、的函数关系式为，将，代入得，解得：，与之间的函数关系式为：；（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设与之间的函数关系式为：，将代入得，解得：，；（3）由题意得，由最大值，当时，【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键23（2019北碚区校级一模）阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数、，我们将与的“友好数”用表示，定义为：，例如17与16的友好数为材料二：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：，（1）由材料一知：与1的“友好数”可以用，表示，已知，请求出的值；（2）已知，请求
34、出实数的取值范围；（3）已知实数、满足条件，且，请求的最小值【考点】：解一元一次不等式组；：二次函数的最值【专题】2：创新题型【分析】（1）根据材料一直接代入列方程即可解决；（2）根据列不等式，即可解决问题；（3）首先根据材料解出的值，再求出的解析式为二次函数，求最小值即可【解答】解：（1），；（2），解得；（3），设，又，整数，又，设，则，当时，有最大值是，此时有最小值，最小值是，此时最小值为【点评】本题考查了学生理解题意的能力以及模仿材料解决问题的能力，也考查了学生解决简单的一元一次不等式以及二次函数求最值问题，有难度24（2019邯郸三模）如图（1），在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，
35、与轴交于点，抛物线过，两点，与轴的另一交点为点（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）如图（2），作抛物线，使得抛物线与恰好关于原点对称，与在第一象限内交于点，连接，请直接写出抛物线的解析式和点的坐标求四边形的面积；（3）已知抛物线的顶点为，设为抛物线对称轴上一点，为直线上一点，是否存在以点，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】：二次函数综合题【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题；：存在型【分析】（1）先求出直线与轴、轴交点坐标，待定系数法求抛物线解析式即可；（2）根据两抛物线关于原点对称，将抛物线的解析式中的和分别换成和，整理后即为抛物线
36、的解析式；再通过解方程组求点的坐标；求四边形的面积，过点作轴于，将四边形分割成一个梯形和一个直角三角形即可求得；（3）过作轴，过作轴与交于点，分两种情形分别求点的坐标：为平行四边形的边，为平行四边形的对角线【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过，两点，解得抛物线的解析式为：令，得，解得，；（2）抛物线与恰好关于原点对称，抛物线的解析式为，解方程组得：，点在第一象限内，；如图2，过作轴于，则，；（3）存在过作轴，过作轴与交于点，抛物线的解析式为，顶点，抛物线的对称轴为：直线，设以点，为顶点的四边形为平行四边形，若为边，则，又为直线上一点，解得：；若为对角线，设，中点坐标为，解得，
37、综上所述，存在以点，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为【点评】本题考查了二次函数图象和性质，两个二次函数图象关于原点对称时抛物线解析式的关系，平面直角坐标系中求四边形面积，平行四边形性质等，解题关键是将不规则图形化成规则图形和分类讨论考点卡片1非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0根据上述的性质可列出方程求出未知数的值2根的判别式利用一元二次方程根的判别式（b24ac）判断方程的根的情况一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两
38、个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根上面的结论反过来也成立3根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q0的两根时，x1+x2p，x1x2q，反过来可得p（x1+x2），qx1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数不解方程求关于根的式子
39、的值，如求，x12+x22等等判断两根的符号求作新方程由给出的两根满足的条件，确定字母的取值这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a0，0这两个前提条件4解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大
40、小小找不到5一次函数图象上点的坐标特征一次函数ykx+b，（k0，且k，b为常数）的图象是一条直线它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式ykx+b6待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设ykx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数ykx+b，则需要两组x，y的
41、值7二次函数的性质二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点抛物线yax2+bx+c（a0）的图象可由抛物线yax2的图象向右或向左平移|个单位，再向上或向下平移|个单位得到的8二次函数图象与系数的关系二次函数yax2+bx
42、+c（a0）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点9二次函数图象上点的坐标特征二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）抛物线是关于对
43、称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x10二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式11二次函数的最值（1）当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y（2）当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y