1、2.4向量的数量积(二) 基础过关1.若a(2，1)，b(1，1)，则向量ab与ab的夹角的余弦值为()A. B. C. D.解析法一a(2，1)，b(1，1)，ab(1，2)，ab(3，0)，(ab)(ab)3，|ab|，|ab|3，ab与ab的夹角的余弦值为cos .法二a(2，1)，b(1，1)，|a|，|b|，(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2523，ab211，|ab|，|ab|3，ab与ab的夹角的余弦值为cos .答案C2.已知向量a(1，2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)
2、b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.由解得x，y.答案D3.若向量a(1，2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于_.解析2ab2(1，2)(1，1)(3，3)，ab(1，2)(1，1)(0，3)，则(2ab)(ab)30339，|2ab|3，|ab|3.设2ab与ab的夹角为，则cos ，又0，故.答案4.已知向量a(1，1)，b(6，4).若a(tab)，则实数t 的值为_.解析a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4).又a(tab)，则a(tab)0，即t6t40，解得t5.答案55.已知向量a(2，1)，ab10，|ab|5，则|b|_.
3、解析法一a(2，1)，|a|.|ab|2a22abb250，b225，|b|5(负值舍去).法二设b(x，y)，根据题意有解得或|b|5.答案56.已知平面向量a(4，3)，|b|1，且ab5.(1)求向量b；(2)若c(1，2)，求(ca)b和(ab)c.解(1)设b(x，y)，由|b|1，得x2y21.由ab5，得(4，3)(x，y)5，则4x3y5.联立得解得b.(2)由ca(1，2)(4，3)10，得(ca)b10(8，6)，由ab5，得(ab)c5(1，2)(5，10).7.已知|a|3，b(2，3)，试分别解答下列问题：(1)若ab，求a；(2)若ab，求a.解设a(x，y)，(1
4、)由|a|3且ab，得解得或a或a.(2)由|a|3且ab，得解得或a或a.能力提升8.已知向量a(1，k)，b(2，2)，且ab与a共线，那么ab的值为()A.2 B.4 C.6 D.8解析a(1，k)，b(2，2)，ab(3，k2)，又ab与a共线.(k2)3k0，解得k1，ab(1，1)(2，2)12124.答案B9.已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|()A.1 B. C. D.解析e1，e2是平面单位向量，且e1e2，e1，e2夹角为60，向量b满足be1be21，b与e1，e2夹角相等，且为锐角，b应该在e1，e2夹角的平分线上，即b与
5、e1，e2的夹角均为30，|b|1cos 301，|b|.答案C10.已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cos ，sin )，若1，则sin cos _.解析因为(cos 3，sin )(cos ，sin 3)(cos 3)cos sin (sin 3)1，所以cos2 sin2 3(cos sin )1，所以cos sin ，所以sin cos .答案11.不共线的三个平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|b|1，|c|3，则|abc|_.解析根据题意得，(abc)2a2b2c22ab2ac2bc11921121321311913316，|abc|4.答案412.已知a，b，c是同
6、一平面内的三个向量，其中a(1，2).(1)若|c|2，且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解(1)设c(x，y)，由ca，且|c|2，可得所以或又c与a方向相反，所以c(2，4).(2)因为(a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20.所以2|a|23ab2|b|20.所以253ab20，所以ab.所以cos 1.因为0，所以.创新突破13.已知a，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.解设向量b(x，y).根据题意，得0，|.(ab)(ab)0，|ab|ab|，|a|b|，ab0.又a，解得或b或b.