1、2.4向量的数量积(一) 基础过关1.已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A.|a|2a2 B.|ab|a|b|C.(ab)ab D.|ab|a|b|解析选项B中，|ab|a|b|cos |，其中为a与b的夹角.答案B2.已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则等于()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析由菱形ABCD的边长为a，ABC60可知BAD18060120，故()()2aacos 120a2a2.答案D3.已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，则ab_.解析ab|a|b|cos 120233.答案34.已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a
2、与b的夹角为_.解析由已知可得a(2ab)02a2ab0，设a与b的夹角为，则有2|a|2|a|b|cos 0cos ，又0，.答案5.设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2之间的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是_.解析由题意知(2te17e2)(e1te2)0，即2t215t70，解得7t.再由2te17e2与e1te2不共线，可得2t27，t，t.答案6.已知平面上三点A，B，C满足|3，|4，|5，求的值.解因|3，|4，|5，所以|2|2|2，ABC是直角三角形，B90，所以()|225.7.已知|a|4，|b|8，
3、a与b的夹角是60，计算：(1)(2ab)(2ab)；(2)|4a2b|.解(1)(2ab)(2ab)(2a)2b24|a|2|b|2442820.(2)|4a2b|2(4a2b)216a216ab4b216421648cos 60482256，|4a2b|16.能力提升8.已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是()A.4 B.4 C.2 D.2解析根据投影的定义，设a，b的夹角为，可得向量a在b方向上的投影是|a|cos 4，故选A.答案A9.若非零向量ab满足|a|3|b|a2b|，则a与b的夹角的余弦值是()A. B. C. D.解析由|a|a2b|得a2a24
4、b24ab，即abb2，所以cos .答案A10.在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，点E和点F分别在线段BC和CD上，且，则的值为_.解析在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60，得，1，1，故()()21.答案11.在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R)，且4，则的值为_.解析32cos 603，则()34934.答案12.已知非零向量a，b，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.解由向量垂直得即化简得设a与b的夹角为，则cos ，又0，a与b的夹角为.创新突破13.已知非零向量，和满足0，且，试判断ABC的形状.解，分别表示与，同向的单位向量，以，为邻边的平行四边形为菱形.表示向量的有向线段在A的平分线上.由0知A的平分线垂直于BC，ABC为等腰三角形.又cos C，C，从而可知，A，所以，ABC为等腰直角三角形.