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《2.2.3 向量的数乘》同步练习(含答案)

1、2.2.3向量的数乘基础过关1.若2(ya)(cb3y)b0,其中a,b,c为已知向量,则向量y()A.abc B.abcC.abc D.abc解析由2(cb3y)b0,得2yacbyb0,yabc,yabc.答案D2.在四边形ABCD中,3e,5e,且|,则四边形ABCD是()A.等腰梯形 B.矩形C.菱形 D.平行四边形解析,ABCD且ABCD,又|,四边形ABCD是等腰梯形.答案A3.已知a,b是不共线的向量,ab,ab(,R),那么A,B,C三点共线的条件是_.解析由ab,ab(,R)及A,B,C三点共线得:t,所以abt(ab)tatb,即可得所以1.答案14.若|a|3,b与a的方

2、向相反,且|b|5,则a_b.解析由b与a方向相反,设ab(0),所以.答案5.已知ABC中,点D在BC边上,且2,rs,则rs的值是_.解析由题意知,故rs0.答案06.(1)如图所示,ABCD的中心为O,P为该平面上任意一点,求证:();(2)已知向量a,b满足(a3b)(ab)(3a2b),求证:向量a与b共线.证明(1)法一,又在ABCD中,4,即().法二(),(),().(2)由已知得2(a3b)5(ab)2(3a2b),2a6b5a5b6a4b,2a5a6a6b5b4b,即9a7b,ab,向量a与b共线.7.如图,在ABC中,P是BN上的一点,若m,求实数m的值.解m,m.又()

3、,设,则m,m.能力提升8.已知ABC和点M满足0,若存在实数m使得m成立,则m的值为()A. B. C.2 D.3解析由题知M为ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则因为AD为ABC的边BC上的中线,所以,2m所以,解得m3.答案D9.已知A,B,C为圆O上的三点,若(),则BAC()A.45 B.60 C.90 D.120解析由()可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC90.答案C10.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,|216,|,则|_.解析以,为邻边构造平行四边形ACDB,则由向量加减法的几何意义可知,因为|,所以|.因为四边形ACDB为平行四边形,所以|.又因

4、为|216,所以|4,所以|42.答案211.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,0,),则点P的轨迹一定通过ABC的_心.解析如图,为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为BAC的平分线的方向.又0,),的方向与的方向相同.又,即,点P在上移动.点P的轨迹一定通过ABC的内心.答案内12.已知O为原点,A,B,C为平面内的三点,求证:(1)若A,B,C三点共线,则存在实数,且1,使得;(2)若存在实数,且1,使得,则A,B,C三点共线.证明(1)A,B,C共线,存在实数,使得,(),即(1),令1,则.(2)1,(1),即(),与共线,又它们有公共点B,A,B,C三点共线.创新突破13.如图所示,在ABC中,点M是BC的中点,设a,b,点N在AC上,且AN2NC,AM与BN相交于点P,APAM.(1)求的值;(2)用a,b表示.解(1)(),.B,P,N三点共线,可设k(1k)k(1k).k,(1k),.(2)由(1),知.ab.