1、2.5向量的应用基础过关1.点P在平面上做匀速直线运动，速度v(4，3)，设开始时点P的坐标为(10，10)，则5秒后点P的坐标为()A.(2，4) B.(30，25)C.(10，5) D.(5，10)解析5秒后点P的坐标为(10，10)5(4，3)(10，5).答案C2.已知点A(2，3)，B(19，4)，C(1，6)，则ABC是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析(21，7)，(1，3)，0，即，则A90，所以ABC是直角三角形.答案C3.已知点A(2，1)，则过点A与向量b(1，2)垂直的直线方程为_.解析设所求直线上任意一点P的坐标为(x，y)，A(
2、2，1)，(x2，y1).由题意知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求直线方程为x2y40.答案x2y404.一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为_分钟.解析v实际v船v水v1v2，|v1|20，|v2|12，|v|16(km/h).所需时间t0.5(小时)30(分钟).该船到达B处所需的时间为30分钟.答案305.如图，在ABC中，点D和E分别在边BC和AC上，且BDBC，CECA，AD与BE交于点R，则_.解析设a，b，取a，b为一组基底.设，因为a(ba)ab，babab，所以a
3、b，ab，则有(1)ab，由可得解得则RDAD，即.答案6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)，B(4，5)，C(1，1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)若向量t与向量垂直，求实数t的值.解(1)由题意(2，4)，(3，2)，(1，2)，(5，6)，|，|.故以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为，.(2)(4，5)，由向量t与垂直，得(t)0.又t(3，2)t(4，5)(34t，25t)，(34t)4(25t)50，解得t.7.如图，质量m2.0 kg的木块在平行于斜面向上的大小为10 N的拉力F的作用下，沿倾斜角30的光滑斜面
4、向上滑行|s|2.0 m的距离(g取9.8 m/s2).(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各力对物体做功的代数和之间有什么关系.解(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如题图所示，拉力F与位移s方向相同，拉力对木块所做的功为WFFs|F|s|cos 020(J).支持力FN与位移方向垂直，不做功，WNFNs0.重力G对物体所做的功为WGGs|G|s|cos(9030)19.6(J).(2)物体所受各力对物体做功的代数和为WWFWNWG0.4(J).
5、(3)物体所受合外力的大小为|F合|F|G|sin 300.2(N).合外力对物体所做的功为WF合s0.4(J).物体所受合外力对物体所做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.能力提升8.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点解析，()0.0.OBAC.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点.答案D9.如图所示，矩形ABCD中，AB4，点E为AB的中点，且，则|()A. B.2 C.3 D.2解析建立如图所示的直角坐标系.设|a(a0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，
6、a)，E(2，0)，所以(2，a)，(4，a).因为，所以0，所以24(a)a0，即a28.所以a2，所以(2，2)，所以|2.答案B10.已知向量，满足条件0，|1.则P1P2P3的形状为_.解析以OP1，OP2为邻边作OP1DP2，则.由于0，所以，所以|1，所以|，所以OP1P230，同理可证OP1P330，所以P3P1P260，同理可证P1P2P3P1P3P260，所以P1P2P3为正三角形.答案正三角形11.已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2，0)，则|的最大值为_.解析由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m，n)，C(m，n)，B(x，y)，(x6
7、，y)，|的最大值为圆x2y21上的动点到点(6，0)距离的最大值.从而易得当时，|的最大值为7.答案712.在ABC中，已知ABAC5，BC6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PCBM?解以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.ABAC5，BC6，B(0，0)，A(3，4)，C(6，0).(3，4).点M是AC边上靠近点A的一个三等分点，M，.假设在BM上存在点P，使得PCBM，则设，且01，即，(6，0).PCBM，0，4(46)0，解得.(0，1)，线段BM上不存在点P，使得PCBM.创新突破13.设a，b为实数，求证：(a4b4)(a2b2)(a3b3)2.证明构造向量c(a2，b2)，d(a，b).由|cd|c|d|，得(a3b3)2(a4b4)(a2b2)，即(a4b4)(a2b2)(a3b3)2.