1、第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示若向量a(x1，y1)，b(x2，y2).数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20知识点二平面向量的模向量的模及两点间的距离向量模a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量|知识点三向量的夹角设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos .思考若两个
2、非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角吗？答案不一定，当cos 0，则两向量的夹角一定是锐角()提示当两向量同向共线时，cos 10，但夹角0，不是锐角3两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.()题型一数量积的坐标运算例1已知a(2，1)，b(1，1)，则(a2b)(a3b)等于()A10 B10 C3 D3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案B解析a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.反思感悟数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公
3、式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa.(ab)(ab)|a|2|b|2.(ab)2|a|22ab|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积跟踪训练1如图所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E在边CD上，且2，则的值是_考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案解析以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系AB，BC2，A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，点E在边CD上，且2，E.，4.题型二平面向量的模例2已知平面向量a(3,
4、5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模解(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)ab651，cab(1,6)，|c|.反思感悟求向量a(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练2已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|等于()A. B
5、. C5 D25考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案C解析a(2,1)，a25，又|ab|5，(ab)250，即a22abb250，5210b250，b225，|b|5.题型三平面向量的夹角与垂直问题命题角度1向量的夹角例3已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，O(0,0)，若|，(0，)，则，的夹角为()A. B. C. D.考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案D解析因为|2()222296cos 113，所以cos ，因为(0，)，所以，所以C，所以cos，因为0，所以，所以，的夹角为，故选D.反思感悟利用向量的数量积求
6、两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积(2)利用|a|求两向量的模(3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值跟踪训练3已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夹角为钝角，即1且1.的取值范围是(，1)(1,1)命题角度2向量的垂直例4在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数解(2,3)，(1，k)，(1，k3)若A90，则213
7、k0，k；若B90，则2(1)3(k3)0，k；若C90，则1(1)k(k3)0，k.故所求k的值为或或.反思感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确三角形的哪个角是直角时，要分类讨论跟踪训练4已知a(3,2)，b(1,0)，若向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A. B C. D考点向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数答案B解析由向量ab与a2b垂直，得(ab)(a2b)0.因为a(3,2)，b(1,0)，所以(31,2)(1,2)0，即3140，解得.1已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为()A.
8、 B. C. D.考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案A解析|a|5，|b|13.ab3541263.设a，b夹角为，所以cos .2若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，则x等于()A3 B3 C. D考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求参数答案A解析abx63，故x3.3已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于()A4 B3 C2 D1考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数答案B解析因为mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.4若
9、平面向量a(1，2)与b的夹角是180，且|b|3，则b等于()A(3,6) B(3，6) C(6，3) D(6,3)考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案A解析由题意设ba(，2)(0)，则|b|3，又0，3，故b(3,6)5已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)求证：ABAD.证明A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)又1(3)130，即ABAD.6已知a(4,3)，b(1,2)(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数解(1)
10、ab4(1)322，|a|5，|b|，cosa，b.(2)ab(4，32)，2ab(7,8)，(ab)(2ab)，(ab)(2ab)7(4)8(32)0，.1平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误