1、2.3.2平面向量的坐标运算第1课时平面向量的坐标表示及坐标运算学习目标1.掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识点一平面向量的坐标表示1平面向量的坐标(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)(2)在平面直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)2点的坐
2、标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点二平面向量的坐标运算1设a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的坐
3、标分别等于这两个向量相应坐标的差向量数乘a(x1，y1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标2.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标1相等向量的坐标相等()2在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量(x1x2，y1y2)()提示(x2x1，y2y1)3与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i(1,0)，j(0,1)()4当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()题型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45
4、，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标解(1)如图，作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542.A(2，2)，故a(2，2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).B的坐标为.反思感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标考点平向向量的正交分解及坐标表示题点平面
5、向量的正交分解求向量的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452.a2|a|sin 452，b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)题型二平面向量的坐标运算例2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).反思感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的
6、坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟踪训练2已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量等于()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)考点平面向量加法与减法的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案A解析设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，即x4，y2，故C(4，2)，则(7，4)，故选A.题型三平面向量坐标运算的应用例3已知A(2,4)，B(4,6)，若，则的坐标为_答案解析根据(6,2)，(9,3)，C(7,7)，(6，
7、2)，D，.反思感悟坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪训练3已知O是坐标原点，点A在第二象限，|6，xOA150，向量的坐标为_答案(3，3)1已知a(1,1)，b(1，1)，则ab等于()A(1,2) B(1，2)C(1，2) D(1,2)考点平面向量加法和减法的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案A解析ab(1,1)(1，1)(1,2)2已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C(8,1) D(8,1)考点平面向量加法和减法的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案A解析(8,1)，.3已知四边形A
8、BCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案A解析设D点坐标为(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2，得，D.4已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则mn_.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案7解析由于pmanb，即(9,4)(2m，3m)(n,2n)(2mn，3m2n)，所以2mn9且3m2n4，解得m2，n5，所以mn7.5已知点A(2,1)，B(2,3)，且，则点C的坐标为_考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案(0,2)解析设C(x，y)，则(x2，y1)(4,2)(2,1)，x0，y2.1向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(xBxA，yByA)3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.