1、2.2向量的线性运算22.1向量的加法学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性知识点一向量加法的定义及其运算法则1向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法2向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知向量a，b，在平面上任取一点O，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a00aa平行四边形法则以同一点O
2、为起点的两个已知向量a，b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线就是a与b的和把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义知识点二向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)思考|ab|与|a|，|b|有什么关系？答案(1)当向量a与b不共线时，ab的方向与a，b不同，且|ab|b|，则ab的方向与a相同，且|ab|a|b|；若|a|.()5|.()题型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量ab和abc.(1)(2)解(1)作法：在平面内任意取一点O，作a，b，
3、则ab.(2)在平面内任意取一点O，作a，b，c，则abc.反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量(1)_；(2)_；(3)_.答案(1)(2)(3)0题型二向量加法运算律的应用例2化简：(1)；(2)；(3).解(
4、1).(2)()0.(3)0.反思感悟(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加(2)向量求和的多边形法则：.特別地，当An和A1重合时，0.跟踪训练2已知正方形ABCD的边长等于1，则|_.答案2解析|2|2.题型三向量加法的实际应用例3在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解作出图形，如图所示船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在RtACD中，|v水|10 m/min，|v船|20 m/min，cos ，60，从而
5、船与水流方向成120的角船是沿与水流的方向成120的角的方向行进的引申探究1若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？解由本例知v船20 m/min，v实际20sin 6010(m/min)，故该船1 h行驶的航程为1060600(m)(km)2若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值解如图，作平行四边形ABDC，则v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为，则tan 2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键跟踪训练3如图，用两根绳子把重10 N的
6、物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)解如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则.易得ECG18015030，FCG18012060.|cos 30105 (N)，|cos 60105 (N)A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.1化简等于()A. B. C0 D.考点向量加法运算及运算律题点化简向量答案D解析.2.如图，在正六边形ABCDEF中，等于()A0 B.C. D.考点向量加法运算及运算律题点几何图形中的向量加法运算答案D解析.3若正方形ABCD的边长为1，则|等于()A1 B.C3 D2考点向量
7、加法的三角形法则和平行四边形法则题点利用向量的加法求模长答案B解析在正方形ABCD中，AB1，可知AC，所以|AC.4.如图所示，在四边形ABCD中，则四边形为()A矩形B正方形C平行四边形D菱形考点向量加法的三角形法则和平行四边形法则题点利用向量的加法求模长答案C解析，即，ABDC，ABDC，四边形ABCD为平行四边形5已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则ab表示_考点向量加法的定义及几何意义的应用题点向量的加法在物理学中的应用答案向东南航行3 km解析根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，那么可知ab表示向东南航行3 km.1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行3使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.