1、训练7两平面垂直的判定与性质一、选择题1.在空间中，下列命题正确的是()A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行答案D解析A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.2.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出如下命题：若，m，n，nm，则n；若，则；若，m，m，则m；若，m，则m；其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析根据平面与平面垂直的性质知正确；中，可能平
2、行，也可能相交，不正确；中，m，m时，只可能有m，正确；中，m与的位置关系可能是m或m或m与相交，不正确.综上，可知正确命题的个数为2，故选B.3. 如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为 ()A.60 B.30 C.45 D.15答案C解析由条件得PABC，ACBC，又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC，PCA为二面角PBCA的平面角.在RtPAC中，由PAAC得PCA45，故选C.4.如图所示，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD平面ABCD，PAPD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()A.P
3、EAC B.PEBCC.平面PBE平面ABCD D.平面PBE平面PAD答案D解析因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，所以PE平面ABCD，所以PEAC，PEBC，所以A，B成立；又PE平面PBE，所以平面PBE平面ABCD，所以C成立；若平面PBE平面PAD，则AD平面PBE，必有ADBE，此关系不一定成立，故选D.5.如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A.一条线段 B.一条直线C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点答案D解析平面PAC
4、平面PBC，ACPC，平面PAC平面PBCPC，AC平面PAC，AC平面PBC.又BC平面PBC，ACBC.ACB90.动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.二、填空题6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是_.(填“垂直”“不垂直”其中的一个)答案垂直解析如图，在正方体中，CC1平面ABCD，CC1BD.又ACBD，CC1ACC，CC1，AC平面AA1C1C，BD平面AA1C1C.又BD平面EBD，平面EBD平面AA1C1C.7.如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二
5、面角大小是_.答案90解析由题意知，BDC即为此二面角的平面角，设ABAC1，连结CB，则ABC为等边三角形，BC1，又BDCD，在BDC中，BD2CD2BC2，BDCD，BDC90，即此二面角的大小为90.8.已知平面，直线l，m，且lm，m，l，给出下列四个结论：；l；m；，则其中正确的个数是_.答案2解析根据线面、面面垂直的判定与性质知正确.9.在三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为_.答案60解析取AB中点M，连结PM，MC，则PMAB，CMAB，PMC就是二面角PABC的平面角.在PAB中，PM1，同理MC1，则PMC是等边三角形，PMC60
6、.10.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为_.答案30解析如图，取BD的中点O，连结OC，OC1，ABAD2，COBD，CO.CDBC，C1DC1B，C1OBD.C1OC为二面角C1BDC的平面角.tan C1OC.C1OC30，即二面角C1BDC的大小为30.三、解答题11.如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求证：AE平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由.(1)证明由已知得DEA
7、E，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连结GH，FH，由已知得ABCE为矩形，且G，F分别为AD，EC的中点，GHBD，FHBC.GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，FH平面BCD，又GHFHH，GH，FH平面FHG，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)解取线段AE的中点R，DC的中点M，DB的中点S，连结MS，RS，BR，DR，EM.则MSBC，MSBC，又REBC，REBC，MSRE，MSRE，四边形MERS是平行四边形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AE垂直于平面CDE内的两条相交直线，又AEBC，BC垂直于平面CDE内的两条相交直线，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，BC，CD平面BCD，EM平面BCD.EM垂直于平面BCD内两条相交直线，EMRS，RS垂直于平面BCD内两条相交直线，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.