1、训练8空间几何体的表面积与体积一、选择题1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A.48 B.64C.16 D.96答案B解析设正方体的棱长为a，则6a296，a4，故Va34364.2.两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A.23 B.49C. D.答案B解析由两球的体积之比为827，可得半径之比为23，故表面积之比是49.3.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A. B. C.64 D.128答案A解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r，即lr，由题意得，侧面积S侧rlr216，r4.l4，高h4.圆锥的
2、体积VSh424.4.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A.4(rR)2 B.4r2R2C.4rR D.(Rr)2答案C解析方法一如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面积为S球4r4Rr.方法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连结OA，OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球的表面积为S球4Rr.5.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A. B. C.
3、D.答案B解析设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形.r.圆柱的体积为Vr2h1.二、填空题6.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于_.答案2解析设圆柱的底面半径为r，则S侧2r2r4r24，得r1，则圆柱的体积为r22r2.7.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_.答案解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.8. 一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴
4、截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h_.答案a 解析设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为R2h，圆柱形容器内的液体体积为2h.根据题意，有R2h2h，解得Ra.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得，所以ha.9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_cm3.答案解析设球的半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R2)cm，所以由42(R2
5、)2R2，得R5(cm)，所以球的体积VR353(cm3).10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_.答案解析如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，在正四棱锥PABCD中，AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242.三、解答题11.已知一个三棱台，上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.解如图，在三棱台ABCABC中，取上、下底面的中心分别为O，O，BC，BC的中点分别为D，D，则DD是梯形BCCB的高.所以S侧3(2030)DD75DD.又因为AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2).由S侧S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO4(cm).由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(S上S下)1 900(cm3).