1、第3课时两平面垂直的性质一、选择题1.下列命题中错误的个数为()如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；如果平面平面，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.A.4 B.3 C.2 D.1答案D解析如果平面平面，平面内的直线与平面平行，相交或在平面内，故错误.2.平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系为()A.平行 B.垂直C.相交 D.相交或平行答案A解析，l，n，nl，n.又m，mn.3.已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，ADBC，D为垂足，以AD为折痕，将ABD和ACD
2、折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：BDCD；BDAC；AD平面BCD；ABC是等边三角形.其中正确结论的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1答案A解析正确，因为BDC为二面角BADC的平面角，由题意知BDC90，所以BDCD；正确，易知BD平面ACD，所以BDAC；正确，因为折叠后仍有ADBD，ADDC，易知AD平面BCD；正确，因为ADBDDC，且以D为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知ABBCAC，即ABC为等边三角形.4.如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为45和30.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A，B，则ABAB等于()A.21 B.
3、31C.32 D.43答案A解析如图：由已知得AA平面，ABA30，BB平面，BAB45.设ABa，则BAa，BBa，在RtBAB中，ABa，2.5.如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC答案D解析由题意得，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，CD平面ABD，CDAB，又ADAB，ADCDD，AD，CD平面ACD，AB平面A
4、DC，平面ABC平面ADC.6. 如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上D.ABC内部答案A解析CAAB，CABC1，ABBC1B，AB，BC1平面ABC1，CA平面ABC1，平面ABC平面ABC1，又平面ABC平面ABC1AB，C1在平面ABC上的射影H必在直线AB上.二、填空题7.如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.答案a解析取BC中点M，连结AM，DM，则AMBC，由题意得AM平面BDC，AMD为直角三角形，AMMDa.ADaa.8.如图，若边长为4
5、和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos cos _.答案2解析由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.9.如图，已知平面平面，l，在l上取线段AB4，AC，BD分别在，内，且ACAB，DBAB，AC3，BD6，则CD_.答案解析作AEBD，使得AEBD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形，AEDE，由题意易得AC平面，ACDE，又ACAEA，AC，AE平面ACE，DE平面ACE，DECE，在RtACE中，CE，在RtCED中，CD.10.在空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，且DA平面ABC，则ABC的形状是_三角形
6、.答案直角解析如图所示，连结AC，BD，作AEBD于点E，因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AE平面ABD，所以AE平面BCD，BC平面BCD，所以BCAE.又因为AD平面ABC，BC平面ABC，所以BCAD.又AEADA，AE，AD平面ABD，所以BC平面ABD.而AB平面ABD，所以BCAB，所以ABC为直角三角形.三、解答题11.如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC.求证：ADCE.证明如图所示，作AOBC，垂足为O，连结OD.由于AOBC且平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，AO平面ABC，所以
7、AO底面BCDE，且O为BC的中点，由知，RtOCDRtCDE，从而ODCCED，于是CEOD.又CEAO，AOODO，AO，OD平面AOD，CE平面AOD.AD平面AOD，ADCE.12.如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01).(1)当为何值时，平面BEF平面ABC?(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?解(1)AB平面BCD，ABCD.又CDBC且ABBCB，AB，BC平面ABC，CD平面ABC，即CD垂直于平面ABC内的两相交直线，又(01)，取(0,1)上的任意值，恒有EFCD，即EF垂直于平面ABC内的两相交
8、直线，EF平面ABC.EF平面BEF，取(0,1)上的任意值，恒有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知，BEEF，又平面BEF平面ACD，平面BEF平面ACDEF，BE平面BEF，BE平面ACD，BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，ABBD，BD，ABtan 60，AC.由AB2AEAC，得AE，.故当时，平面BEF平面ACD.13.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰三角形，ABAC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(
9、3)如果截面MBC1侧面BB1C1C，那么AMMA1吗？请你叙述判断理由.(1)证明ABAC，D是BC的中点，ADBC.又底面ABC侧面BB1C1C，底面ABC侧面BB1C1CBC，AD底面ABC，AD侧面BB1C1C.又CC1侧面BB1C1C，ADCC1.(2)证明如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连结C1N.AMMA1，MA1BB1，A1MBB1，NA1A1B1.A1B1A1C1，A1C1A1NA1B1，C1NC1B1.平面NB1C1侧面BB1C1C，平面NB1C1侧面BB1C1CC1B1，C1N平面NB1C1，C1N侧面BB1C1C.又C1N平面MBC1，截面MBC1侧面BB1C
10、1C.(3)解过点M作MEBC1于点E，连结DE.截面MBC1侧面BB1C1C，截面MBC1侧面BB1C1CBC1，ME截面MBC1，ME侧面BB1C1C.又AD侧面BB1C1C，MEAD，M，E，D，A四点共面.AM侧面BB1C1C，AM平面AMED，平面AMED平面BB1C1CDE，AMDE.四边形AMED是平行四边形，AMDE，AMCC1，DECC1.D是BC的中点，E是BC1的中点.AMDECC1AA1，AMMA1.14.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于_.答案解析取CD的中点
11、G，连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.又因为平面ABCD平面DCEF，平面ABCD平面DCEFCD，MG平面ABCD，所以MG平面DCEF，又NG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.15.如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足.设AKt，则t的取值范围是_.答案解析过点K作KMAF于M点，连结DM，易得DMAF，与折前的图形对比，可知由折前的图形中D，M，K三点共线，且DKAF，于是DAKFDA，t，DF(1,2)，t.