1、第3课时直线与平面垂直的判定和性质一、选择题1.已知PA矩形ABCD，下列结论中，不正确的是()A.PBBC B.PDCDC.PDBD D.PABD答案C解析依题意画出几何图形，如图，显然PDBD不正确；BC平面PAB，则PBBC；CD平面PAD，则PDCD；PA平面ABCD，则PABD.2.ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，l，m为两条不重合的直线，则直线l，m的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交 D.以上都有可能答案A解析直线lAB，lAC，且ABACA，l平面，同理直线m平面.由线面垂直的性质定理可得lm.3.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角
2、线AC，BD的关系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交答案C解析如图，取BD的中点O，连结AO，CO，则BDAO，BDCO，AOOCO，BD平面AOC，BDAC，又BD与AC异面，故选C.4.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AGEFH所在平面B.AHEFH所在平面C.HFAEF所在平面D.HGAEF所在平面答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH.5.已知ABCDA1
3、B1C1D1为正方体，下列结论不正确的是()A.BD平面CB1D1 B.AC1BDC.AC1平面CB1D1 D.AC1BD1答案D解析正方体中由BDB1D1，易知A正确；由BDAC，BDCC1易得BD平面ACC1，从而BDAC1，即B正确；由以上可得AC1B1D1，同理AC1D1C，又B1D1D1CD1，因此AC1平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1BD1不正确.6.如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，PAAB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()BC平面PAB；ADPC；AD平面PBC；PB平面ADC.A.0个 B.1个C.2个 D.3个答案
4、D解析PA平面ABC，PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB，故正确；由BC平面PAB，得BCAD，又PAAB，D是PB的中点，ADPB，又PBBCB，PB，BC平面PBC，AD平面PBC，故正确；ADPC，故正确；故选D.二、填空题7.如图所示，PA平面ABC，在ABC中，BCAC，则图中直角三角形的个数为_.答案4解析PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又ACBC，BC平面PAC，BCPC，直角三角形有PAB，PAC，ABC，PBC，共4个.8.在下列四个正方体中，能得出ABCD的有_.(填序号)答案解析在中，设平面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CDBA1，C
5、DAA1，即CD平面ABA1，所以CDAB.而在中AB与CD成60角，在中AB与CD成45角，在中AB与CD所成角的正弦值为.9.如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90，F是AC的中点，E是PC上的点，且EFBC，则_.答案1解析在三棱锥PABC中，因为PA底面ABC，所以PAAB，又BAC90，即ABAC，又PAACA，PA，AC平面PAC，所以AB平面APC.因为EF平面APC，所以EFAB，因为EFBC，BCABB，BC，AB平面ABC，所以EF底面ABC，所以PAEF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以1.10.在三棱柱ABCA1B1C1中，
6、已知AA1平面ABC，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案A1C1B1C1(答案不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BCCC1，可得BC1B1C，因此，要证AB1BC1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可.由直三棱柱可知，只要证ACBC即可.因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可.(或者能推出A1C1B1C1的条件，如A1C1B190等)三、解答题11.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC
7、3.证明：BE平面BB1C1C.证明过点B作CD的垂线交CD于点F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE，在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，所以BEBC.又由BB1平面ABCD，得BEBB1，且BB1BCB，故BE平面BB1C1C.12.如图，已知ADAB，ADAC，AEBC交BC于点E，D为FG的中点，AFAG，EFEG.求证：BCFG.证明ADAB，ADAC，ABACA，AB，AC平面ABC，AD平面ABC，ADBC.又AEBC，AEADA，AE，AD平面ADE，BC平面ADE，在AFG中，D是FG的中点，由AFAG，得ADFG，在EFG中，D
8、是FG的中点，由EFEG，得EDFG，又EDADD，ED，AD平面ADE，FG平面ADE.又BC平面ADE，BCFG.13.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，PAAD.求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD.证明(1)因为PA底面ABCD，所以CDPA.又在矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，AD，PA平面PAD，所以CD平面PAD，所以CDPD.(2)取PD的中点G，连结AG，FG.因为底面ABCD是矩形，E，F分别是AB，PC的中点，所以GFCD且GFCD，所以GFAE且GFAE，所以四边形AEFG是平行四边形，所
9、以AGEF.因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，所以EFPD，由(1)知，CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，所以EFCD.因为PDCDD，PD，CD平面PCD.所以EF平面PCD.14.设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：若PABC，PBAC，则H是ABC的垂心；若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是ABC的垂心；若ABC90，H是AC的中点，则PAPBPC.其中正确命题的序号是_.答案解析因为PH底面ABC，所以PHBC，又PABC，所以BC平面PAH，所以BCAH，同理BHAC，得H是ABC的垂心，所以正确；由PA，PB，PC两两互相垂直，易
10、推出BCAH，BHAC，得H是ABC的垂心，所以正确；由ABC90，H是AC的中点，得PA，PB，PC在平面ABC上的射影相等，所以PAPBPC，所以正确.15.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_.答案2，)解析PA平面AC，QD平面AC，PAQD.又PQQD，PAPQP，PA，PQ平面PAQ，QD平面PAQ，AQQD.当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.