1、第2课时 异面直线一、选择题1.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2对 B.3对 C.6对 D.12对答案C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条答案A解析如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都
2、与l成30角.3.点E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点，AB6，PC8，EF5，则异面直线AB与PC所成的角为()A.90 B.45 C.30 D.60答案A解析如图，取PB的中点G，连结EG，FG，则EGAB且EGAB，GFPC且GFPC，则EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在EFG中，EGAB3，FGPC4，EF5，所以EGF90.4.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为()A.30 B.45C.90 D.60答案D解析连结AD1，D1C，BC1(图略)，因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1BMN，又C1BAD1
3、，所以AD1MN，所以D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.又D1AC是等边三角形，所以D1AC60，即异面直线AC和MN所成的角为60.5.空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD2AB，EFAB，则EF与CD所成的角为()A.30 B.45 C. 60 D.90答案A解析取AD的中点H，连结FH，EH，则HECD，HFAB，HFAB，在EFH中 EFH90，HE2HF，从而FEH30.6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()A.060 B.060C.060 D.060答案D解析如图，连结CD1，AC，
4、因为CD1BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即D1CP.当点P从D1向A运动时，D1CP从0增大到60，但当点P与D1重合时，CPBA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是060.二、填空题7.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为_.答案解析设棱长为1，因为A1B1C1D1，所以AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.在AED1中，cosAED1.8.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值
5、是_.答案4解析正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，k的最大值为4.9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.答案90解析如图，过点M作MEDN交CC1于点E，连结A1E，则A1ME(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角.设正方体的棱长为a，则A1Ma，MEa，A1Ea.所以A1M2ME2A1E2，所以A1ME90，即异面直线A1M与DN所成的角为90.10.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，GEF120，则BD与AC所成角的度数为_.答案
6、60 解析依题意知，EGBD，EFAC，所以GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又GEF120，所以异面直线BD与AC所成的角为60.三、解答题11.如图所示，在长方体ABCDEFGH中，ABAD2，AE2.(1)求直线BC和EG所成的角；(2)求直线AE和BG所成的角.解(1)连结AC(图略).EGAC，ACB即是BC和EG所成的角.在长方体ABCDEFGH中，ABAD2，AE2，tanACB1，ACB45，直线BC和EG所成的角是45.(2)AEBF，FBG即是AE和BG所成的角.易知tanFBG，FBG60，直线AE和BG所成的角是60.12.在空间四边形ABCD中，ABCD，
7、且AB与CD所成的角为60，E，F分别是BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解取AC的中点G，连结EG，FG，则EGAB，GFCD，由ABCD，知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.AB与CD所成的角为60，EGF60或120.由EGFG，知EFG为等腰三角形，当EGF60时，GEF60；当EGF120时，GEF30.故EF与AB所成的角为60或30.13.如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解取AC的中点F，连结BF，EF，在A
8、CD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角.在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰EBF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.14.在正方体ABCDA1B1C1D1上一只蚂蚁从A点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n2)条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置可能在()A.点A1处 B.点A处C.点D处 D.点B1处答案D解析由题意结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4
9、条，蚂蚁从A点出发，走进第(n2)条棱与第n条棱是异面的，如ABBCCC1C1D1D1A1 A1A，按照此走法，每要走6条棱就会回到起点.2 01863362，这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同，而前2条棱走法有以下几种情况：AB BB1，ABBC，ADDC，ADDD1，AA1A1D1，AA1A1B1，故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1，故选D.15.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且ABBC2，ABC120，若异面直线A1B和AD1所成的角为90，求AA1的长.解连结CD1，AC.由题意得在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1ADBC，A1D1ADBC2，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，AD1C为A1B和AD1所成的角.异面直线A1B和AD1所成的角为90，AD1C90.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，ACD1是等腰直角三角形，AD1AC.底面四边形ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，AC2sin 6026，AD1AC3，AA1.