1、第2课时两条直线的垂直一、选择题1.已知平面内有A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)三点，则下列说法正确的是()A.ABC是直角三角形，且BAC90；B.ABC是直角三角形，且ABC90；C.ABC是直角三角形，且ACB90；D.ABC不是直角三角形.答案B解析kAB，kBC2，kABkBC1，ABBC，ABC90.只有B正确.2.已知直线l1：yx，若直线l2l1，则直线l2的倾斜角为()A.135 B.45 C.60 D.90答案A解析因为直线yx的斜率k11，所以若直线l2l1，则直线l2的斜率k1.所以直线l2的倾斜角为135.3.已知点A(0,1)，B(a,0)，C(3,2)，直
2、线l经过B，C两点，且l垂直于AB，则a的值为()A.1 B.2 C.1或2 D.0答案C解析由题意知ABBC，则1(a0且a3)，解得a1或2.4.已知直线l1：(2a)xay30，l2：(2a3)x(a2)y20互相垂直，则实数a的值为()A.1 B.2 C.1或2 D.1或2答案D解析因为l1l2，则必有(2a)(2a3)a(a2)0，即a2a20，所以a2或a1.5.与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为()A.yx4 B.y2x4C.y2x4 D.yx4答案D解析由题意可设所求直线方程为ykx4，又由2k1，得k，所求直线方程为yx4.6.已知直线mx4y20与
3、2x5yn0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则mnp等于()A.4 B.0 C.20 D.24答案A解析由两条直线互相垂直得1，即m10，由于点在两条直线上，从而有解得故mnp4.二、填空题7.过原点作直线l的垂线，若垂足为(2,3)，则直线l的方程是_.答案2x3y130解析设垂足为A，则kOA，由题意可知kl，所以直线l的方程是y3(x2).整理得2x3y130.8.已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x4y50垂直，则a的值为_.答案解析因为直线3x4y50的斜率为，故直线l的斜率为.由直线的斜率计算公式，可得，解得a.9.将直线l：2xy10绕点A
4、(1,3)逆时针旋转90，得到的直线l1的方程是_.答案x2y70解析根据题意知，直线l1与直线l垂直，而直线l：2xy10的斜率为2，所以直线l1的斜率为.又直线l1也过点A(1,3)，故直线l1的方程是y3(x1)，即x2y70.10.过点M(1，2)作直线l交直线x2y10于点N，当MN最短时，直线l的方程为_.答案2xy0解析由题意知MN最短时，直线l与直线x2y10垂直，又直线l过M(1，2)，故直线l的方程为2xy0.三、解答题11.已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CDAB，且CBAD.解设D(x，y)，则kCD，kAB3，kCB2，kAD.因为kC
5、DkAB1，kCBkAD，所以31，2，所以x0，y1，即D(0,1).12.已知在ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3).(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程；(3)求过A与BC平行的直线方程.解(1)因为直线AB的斜率k1，所以AB边上的高所在直线的斜率为3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y33(x1)，即3xy60.(2)因为直线BC的斜率k21，所以BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为yx.(3)由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为1，其方程为yx.13.直线l的倾斜角为30，点P(2,1
6、)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m1)，B(m，2)，试求m的值.解如图，直线l1的倾斜角为303060，直线l1的斜率k1tan 60.当m1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1l2.当m3时，直线AB的斜率为0，此时l2的斜率不存在，不满足l1l2.当m1且m3时，直线AB的斜率kAB，线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2.l1与l2平行，k1k2，即，解得m4.14.已知点P(3,1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MPMQ，则实数t的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析设M(x,0).当x3时，PMx轴，点Q在原点，此时t0；当x0时，kMQ不存在，kMP，不合题意；当x0且x3时，则由kMPkMQ1，得tx23x2且t0.综上所述，实数t的取值范围是.15.已知ABC的顶点A(1,3)，B(1，1)，C(2,1)，求ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标.解因为B(1，1)，C(2,1)，所以kBC，所以BC上的高AD的斜率kAD，设D(x，y)，由kAD，及kBDkBC，得x，y，则D.