1、2.3空间直角坐标系一、选择题1.点A在z轴上，它到点(2，1)的距离是，则点A的坐标是()A.(0,0，1) B.(0,1,1)C.(0,0,1) D.(0,0,13)答案C解析设A(0,0，c)，则，解得c1.所以点A的坐标为(0,0,1).2.点P(1， ，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A.(0,0，) B.(0，)C.(1,0，) D.(1，0)答案D解析由空间点的坐标的定义，知Q的坐标为(1， ,0).3.已知空间中点A(1,3,5)，C(1,3，5)，点A与点B关于x轴对称，则点B与点C的对称关系是()A.关于平面xOy对称B.关于
2、平面yOz对称C.关于y轴对称D.关于平面xOz对称答案D解析因为点(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，y，z)，所以B(1，3，5)，与点C的坐标比较，知横坐标、竖坐标分别对应相同，纵坐标互为相反数，所以点B与点C关于平面xOz对称.4.点A(1,2，1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则BC的值为()A.2 B.4 C.2 D.2答案B解析点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1).点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，2,1)，故BC4.5.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E与AB的中点F的距离为()A
3、.a B.aC.a D.a答案B解析A1(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，E点坐标为，F点坐标为，EFa.6.正方体不在同一表面上的两顶点A(1,2，1)，B(3，2，3)，则正方体的体积是 ()A.16 B.192 C.64 D.48答案C解析AB4，所以正方体的棱长为4.所以正方体的体积为4364.二、填空题7.点P(1,2，1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则xyz_.答案0解析点P(1,2，1)在xOz平面内的射影为B(1,0，1)，x1，y0，z1，xyz1010.8.在空间直角坐标系中，点(1，b,2)关于y轴的对称点是(a，1，c2)
4、，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离PO_.答案解析由点(x，y，z)关于y轴的对称点是(x，y，z)可得1a，b1，c22，所以a1，c0，故所求距离PO.9.在空间直角坐标系中，点M(2,4，3)在xOz平面上的射影为点M，则M关于原点对称的点的坐标是_.答案(2,0,3)解析点M在xOz上的射影为(2,0，3)，其关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).10.在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_.答案2解析由条件知AB2AC2BC2，即(6)22232(x4)232(6)2(x10)
5、252(3)2，解得x2，此时有ABAC，符合题意，所以x2.三、解答题11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标.解(1)显然A(0,0,0)，由于点B在x轴的正半轴上且AB4，所以B(4,0,0).同理可得D(0,3,0)，A1(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内，BCAB，CDAD，则点C(4,3,0).同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只
6、有竖坐标与点C不同，CC1AA15，则点C1(4,3,5).(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则C1C的中点坐标为，即N.12.已知A(3,2,1)，B(1,0,4)，求：(1)线段AB中点的坐标和A与B的距离；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件，并指出方程表示什么图形.解(1)设M(x，y，z)是AB的中点，则x2，y1，z，所以M点的坐标为.两点间的距离AB.(2)由P(x，y，z)到A，B两点的距离相等.则，化简得4x4y6z30.即到A，B的距离相等的点的坐标(x，y，z)满足的条件是4x4y6z30.方程表示的图形是线段AB的
7、垂直平分面.13.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1EBD1于点E，求A，E两点之间的距离.解根据题意，可得A(a,0,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a).连结BD，过点E作EFBD于F，如图所示，则在RtBB1D1中，BB1a，BD1a，B1D1a，所以B1E， 所以RtBEB1中，BEa，由RtBEFRtBD1D，得BFa，EF，所以点F的坐标为，则点E的坐标为.由两点间的距离公式，得AEa，所以A，E两点之间的距离是a.14.三棱锥PABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3
8、)，则三棱锥PABC的体积为_.答案1解析由A，B，C，P四点的坐标知，ABC为直角三角形，ABAC，PA底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB1，AC2，PA3，所以三棱锥PABC的体积VSh1231.15.已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a).(1)求线段MN的长；(2)当a为何值时，线段MN最短？解(1)平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABEF，BE平面ABCD，BEBC，AB，BC，BE两两垂直.以B为坐标原点，分别以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.过M作MGAB于点G，MHBC于点H，连结NG，易证NGAB.CMBNa，CHMHBGGNa，则M，N.由空间两点间的距离公式，得MN.(2)由(1)得当a时，MN取得最小值，即线段MN最短.