1、1.3.2空间几何体的体积一、选择题1.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.144，144 B.144，36C.36，144 D.36，36答案D解析半径R3.所以S表4R236，VR32736.故选D.2.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54 B.54 C.58 D.58答案A解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52h1(r29r23rr)，r2h112.令原圆锥的高为h，由相似知识得，hh1，V原圆锥(3r)2h3r2h11254.3.分别以一个锐角为30的直角三角形的较短直角边、较长直角边、斜边
2、所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A.1 B.62C.623 D.326答案C解析设RtABC中，BAC30，BC1，则AB2，AC，求得斜边上的高CD，旋转所得几何体的体积分别为V1()21，V212，V322.V1V2V31623.4.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是()A.S正方体S球 B.S正方体S球C.S正方体S球 D.无法确定答案A解析设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得VR3a3，a，R，S正方体6a26，S球4R2.5.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥
3、形器皿中，则水面高度为()A.6 cm B.6 cmC.2 cm D.3 cm答案B解析设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知r2r226，得r2，水面的高度是26(cm).6.已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为()A. B.16 C. D.32答案B解析设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，另外一个侧面是边长为R的等边三角形.因此根据三棱锥的体积公式，得R2R，R2，S表42216，故选B.二、填空题7.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平
4、面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1V2_.答案75解析如图，延长A1A到A2，B1B到B2，C1C到C2，且A1AAA2，B1BBB2，C1CCC2，连结A2C2，A2B2，B2C2，则得到三棱柱ABCA2B2C2，且.延长B1E，C1F，则B1E与C1F相交于点A2.因为A2AA2A112，所以.又，所以V17，故V1V27(127)75.8.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是_ cm.答案3解析设球半径为r，则由3V球V水V柱，可得3r3r26r26r，解得r3(c
5、m).9.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的直径为_.答案13解析如图，由已知条件可知，当ABAC时，BC中点D为ABC外接圆的圆心，因为三棱柱是直三棱柱，所以DE中点M为球心，又DEAA112，设ABC外接圆半径为r，则r.即EC1.球O的半径RMC1.故球的直径为13.10.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若，则_.答案解析棱长为a的正方体的体积V1a3，表面积S16a2.底面半径和高均为r的圆锥的体积V2r3，侧面积S2r2.由，得ar，所以.
6、三、解答题11.一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间.解(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h8(cm).(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，由OCDACO1，得，所以，解得r3(cm).因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，所以V锥V球62833963660(cm3).12.如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥AFED的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，求V1V2的值.解设三棱柱
7、的高为h，F是AA1的中点，则三棱锥FADE的高为，D，E分别是AB，AC的中点，SADESABC，V1SADE，V2SABCh，.13.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积.(其中BAC30)解过C作CO1AB于点O1，由已知得BCA90，BAC30，AB2R，ACR，BCR，CO1R.S球4R2，RRR2，RRR2，S几何体表S球4R2R2R2R2.又V球R3，AO1COR2AO1，BO1COR2BO1，V几何体V球()R3.14.如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，
8、CA1B1C1的体积之比为()A.111B.112C.124D.144答案C解析设棱台的高为h，SABCS，则4S，SABChSh，hSh.又V台h(S4S2S)Sh，V台ShSh，体积比为124.15.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3.而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为V2hh3，由VV，得hr.即容器中水的深度为r.