1、2.1.6点到直线的距离学习目标1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题.知识点一点到直线的距离点到直线的距离定义点到直线的垂线段的长度图示公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d知识点二两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离定义夹在两条平行直线间公垂线段的长度图示公式两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.一、点到直线的距离例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离.yx；3y4；x3.解yx可化为4x3y10，点P(2，3)到该直线的距离为.3y4可化为3
2、y40，由点到直线的距离公式得.x3可化为x30，由点到直线的距离公式得1.(2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程.解方法一当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，恰好与A(2,3)，B(4,5)两点的距离相等，故x1满足题意.当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点A(2,3)与B(4,5)到直线l的距离相等，得，解得k，此时l的方程为y2(x1)，即x3y50.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.方法二由题意得lAB或l过AB的中点，当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直
3、线l的斜率为kl，则klkAB，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.反思感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.跟踪训练1(1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_；(2)已知直线l过点P
4、(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_.答案(1)(2)2xy20或2x3y180解析(1)由题意知3，解得a，故a的取值范围为.(2)过点P(3,4)且斜率不存在的直线x3与A，B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知得，k2或k，所求直线l的方程为2x3y180或2xy20.二、两平行线间的距离例2(1)若两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_.(2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则直线l的方程为_.答案(1)(2)2xy10解析(1)由题意，得，m2，将直线3xy30
5、化为6x2y60，由两平行线间的距离公式，得.(2)由题意得，l1与l2平行，设直线l的方程为2xyC0，则，解得C1，直线l的方程为2xy10.反思感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不全为0)，且C1C2时，d.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.跟踪训练2(1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程；(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.解(1)方法一设所求直线
6、方程为5x12yC0，在直线5x12y60上取一点P0，则点P0到直线5x12yC0的距离为，由题意，得2，所以C32或C20，故所求直线方程为5x12y320或5x12y200.方法二设所求直线方程为5x12yC0，由两平行直线间的距离公式，得2，解得C32或C20，故所求直线方程为5x12y320或5x12y200.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设l1：yk(x1)，即kxyk0，l2：ykx5，即kxy50.因为l1与l2的距离为5，所以5，解得k0或.所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y600.三、距离的综合应用例3已知正方形的中心为直线2xy20，xy
7、10的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x3y50，求正方形其他三边所在直线的方程.解设与直线l：x3y50平行的边所在的直线方程为l1：x3yC0(C5).由得正方形的中心坐标为P(1,0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得，得C7或C5(舍去)，直线l1的方程为x3y70.又正方形另两边所在直线与l垂直，设另两边所在直线的方程分别为3xya0,3xyb0.正方形中心到四条边的距离相等，得a9或a3，正方形另两边所在的直线方程分别为3xy90,3xy30.正方形另三边所在的直线方程分别为3xy90，x3y70,3xy30.延伸探究求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程.解由例题
8、知，正方形中心坐标为P(1,0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大.kOP0，此时所求直线方程为x1.反思感悟距离公式综合应用的三种常用类型(1)求最值问题.利用对称转化为两点之间的距离问题.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.(2)求参数问题.利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.(3)求方程的问题.立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.跟踪训练3已知点P(x，y)在直
9、线xy40上，求(x1)2(y1)2的最小值.解(x1)2(y1)2表示直线xy40上的点到点(1，1)的距离的平方，其最小值即为点(1，1)到直线xy40的距离的平方.根据点到直线的距离公式，d2218，所以(x1)2(y1)2的最小值为18.1.点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之(数形结合法).2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.3.已知两平行直线，其距离可利用公式d求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.1.点(1，1)到直线
10、xy10的距离是()A. B. C. D.答案A解析依题意，d，选A.2.平行直线l1：3xy0与l2：3xy0的距离等于()A.1 B.0 C. D.3答案A解析l1，l2间的距离为d1.选A.3.已知两平行直线l1：3x5y10和l2：6x10y50，则l1与l2间的距离为_.答案解析l2：6x10y50可以化为3x5y0，l1与l2间的距离d.4.已知坐标平面内两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则实数m的值为_.答案6或解析由，得|3m5|m7|，m6或m.5.到直线3x4y10的距离为3，且与此直线平行的直线方程为_.答案3x4y160或3x4y140解析在直线
11、3x4y10上取点(1,1).设与直线3x4y10平行的直线方程为3x4ym0(m1)，则3，解得m16或m14，即所求直线方程为3x4y160或3x4y140.一、选择题1.点(2,5)到直线y2x的距离为()A. B. C. D.答案A解析直线方程为2xy0，所以点(2,5)到直线的距离为d.选A.2.两平行线3x4y70和6x8y30之间的距离为()A. B.2 C. D.答案C解析3x4y70可化为6x8y140，由两平行线间的距离公式，可得d.3.已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于()A. B.C.或 D.或答案C解析由点到直线的距离公式
12、，可得，化简，得|3a3|6a4|，解得a或a.故选C.4.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，则ABC的面积等于()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析设AB边上的高为h，则SABCABh，AB2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，AB边所在的直线方程为，即xy40.点C到直线xy40的距离为，因此，SABC25.5.若P点在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A.(1,2) B.(2,1)C.(1,2)或(2，1) D.(2,1)或(1,2)答案C解析设点P的坐标为(x,53x)，则由点到直线的距离公式，得，即|4x6|2，4x62，x1
13、或x2，点P的坐标为(1,2)或(2，1).6.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是()A.3 B.2 C. D.4答案A解析由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为xyc0，则，即c6，点M在直线xy60上，点M到原点的距离的最小值就是原点到直线xy60的距离，即3.二、填空题7.点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是_.答案8解析由x2y2的实际意义可知，它代表直线xy40上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2y2)m
14、in28.8.若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是_.答案3或解析d，由题意知，4，即1，k3或k.9.已知在ABC中，A(3,2)，B(1,5)，点C在直线3xy30上.若ABC的面积为10，则点C的坐标为_.答案(1,0)或解析由AB5，ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x3)，AB边所在的直线方程为3x4y170，利用点到直线的距离公式，得x1或x.所以点C的坐标为(1,0)或.10.如图，已知直线l1：xy10，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，则l2的方程为_.答案xy30解析设l2的方程为yx
15、b(b1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，AD，BCb.梯形的高h就是点A到直线l2的距离，故h(b1)，由梯形面积公式得4，b29，b3.但b1，b3.直线l2的方程是xy30.三、解答题11.已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：xy10与l2：xy10所截得的线段的中点M在直线xy30上.求直线l的方程.解方法一点M在直线xy30上，设点M坐标为(t,3t)，则点M到l1，l2的距离相等，即，解得t，M.又l过点A(2,4)，由两点式得，即5xy60，故直线l的方程为5xy60.方法二设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：xyc0(c1)，由两
16、平行直线间的距离公式得，解得c0，即l3：xy0.由题意得中点M在l3上，又点M在xy30上.解方程组得M.又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5xy60.12.已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1).试求(a2)2(b2)2的取值范围.解由(a2)2(b2)2联想两点间的距离公式，设Q(2，2)，又P(a，b)，则PQ，于是问题转化为求PQ2的最大值、最小值.如图所示，当P与A或B重合时，PQ取得最大值，即.当PQAB时，PQ取得最小值，此时PQ为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为xy10.则Q点到直线AB的距离d，(a2)2(
17、b2)213.即(a2)2(b2)2的取值范围为.13.已知ABC的顶点C在直线3xy0上，顶点A，B的坐标分别为(4,2)，(0,5).(1)求过点A且在x，y轴上的截距相等的直线方程；(2)若ABC的面积为10，求顶点C的坐标.解(1)当截距为0时，所求直线过原点，直线的斜率为，直线方程为yx，即x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，直线过点(4,2)，即1，a6，即直线方程为xy60.所求直线方程为x2y0或xy60.(2)由顶点C在直线3xy0上，可设C(x0,3x0)，可求得直线AB的方程为3x4y200，则顶点C到直线AB的距离d|3x04|，且AB5，由SABCABd10，得
18、|3x04|4，x00或x0，故顶点C的坐标为(0,0)或.14.经过点P(3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为_.答案x3或7x24y750解析当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x3的距离等于3，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy3k40.原点到直线l的距离d3，解得k.所以直线l的方程为7x24y750.综上，直线l的方程为x3或7x24y750.15.已知直线l1：2xya0(a0)，直线l2：4x2y10和直线l3：xy10，且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.解(1)l2可化为2xy0，l1与l2的距离为d.a0，a3.(2)存在点P，当P点坐标为时满足条件.设点P(x0，y0)满足，则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyC0上且，即C或C，有2x0y00或2x0y00.若点P满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，x02y040或3x020.点P在第一象限，3x020不满足题意.联立方程解得(舍去).联立方程解得P即为同时满足条件的点.