1、1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积一、选择题1.棱长都是3的三棱锥的表面积S为()A.9 B.6 C.3 D.5答案A解析因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S4329.2.已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3.以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为()A.64 cm2 B.36 cm2C.64 cm2或36 cm2 D.48 cm2答案C解析分别以长为8 cm，宽为6 cm的边
2、所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确.4.圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为()A.81 B.100 C.168 D.169答案C解析圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l5r10，所以r2，R8.故S侧(Rr)l(82)10100，S表S侧r2R2100464168.5.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为()A.160 B.80 C.100 D.120答案A解析设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以l15252，l9
3、252.又ll4a2，即1525292524a2，所以a8，所以S侧ch485160.6.已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是()A. cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm答案D解析设过同一顶点的三条棱长分别为a cm，b cm，c cm ，体对角线长为l cm，则abc6，且2(abbcca)24，从而l2 cm，故选D.二、填空题7.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是_.答案43解析设圆锥的底面半径为r，则有l2r，所以l3r.所以.8.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中
4、，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为_.答案1解析设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为42，所以三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1.9.如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为_.答案(2)a2解析由已知可得正方体的棱长为a，新几何体的表面积为S表2aa42(2)a2.10.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表
5、面积为_.答案36解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，1，S表222422()21236.该几何体的表面积为36.三、解答题11. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45，求这个圆台的高、母线长和底面半径.解圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.即AOx cm，AO3x cm(O，O分别为上、下底面圆心)，过A作AB的垂线，垂足为点D.在RtAAD中，AAD45，ADAOAO2x cm，所以ADAD2x cm，又S轴截面(ABAB)AD(2x6x)2x392(cm2)，所以x7 cm.综上，
6、圆台的高OO14 cm，母线长AAOO14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.12.如图所示，ABC的三边长分别是AC3，BC4，AB5，作CDAB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解在ABC中，由AC3，BC4，AB5知，AC2BC2AB2，所以ACBC.所以CD，记为r，那么ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r，母线长分别是AC3，BC4，所以S表r(ACBC)(34).所以旋转体的表面积是.13.一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积；
7、(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值.解(1)圆锥的母线长为2(cm)，所以圆锥的侧面积S224 (cm2).(2)画出轴截面如图所示.设圆柱的半径为r.由题意知，所以r，所以圆柱的侧面积S2rx(x26x)，所以当x3 cm时，S最大6 cm2.14.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为_.答案 135解析如图，由题意知O1A1O2A2OA123，以O1A1，O2A2，OA为底面半径的圆锥的侧面积之比为149.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1(41)(94)135.15.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的表面积.解如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h.过点O作OEAB，与AB交于点E，连结SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，3aha22，ah.SOOE，SO2OE2SE2，322h2，h2，ah6.S底a2629，S侧2S底18，S表S侧S底18927.