1、第2课时直线与圆的位置关系(习题课)学习目标1.掌握直线与圆相交的综合问题.2.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.一、弦长问题例1(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_.答案解析方法一(交点法)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由解得或不妨设A，B.AB.方法二(弦长公式)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由消去y，得2x22x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x21，x1x2.AB.方法三(几何法)由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距
2、离为d，AB22.(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1所得的弦长为2的圆的方程为_.答案(x2)2(y1)24解析设圆的半径为r，由条件得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2，即半弦长为，r2224，得r2，所求圆的方程为(x2)2(y1)24.反思感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式AB 求解.(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线(直线l的斜率k存在且不为0)与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB|x1x2|，或AB|y1y2|.(3)几何法：
3、如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有2d2r2，即AB2.通常采用几何法较为简便.跟踪训练1已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.(1)证明l：kxyk20，直线l可化为y2k(x1)，直线l经过定点(1,2).又(1)222xb解集为R，则实数b的取值范围是_.答案(1)2121 (2) 1，)(，1)解析(1)圆的方程化为(x2)2(y1)21，圆心(2,1)到直线yx1的距离为d2，所求的最近距离为21，最远距离为21. (2)方程yxb表示斜率为
4、1，在y轴上截距为b的直线l；方程y表示在x轴上及其上方的半径为1的半圆，如图所示，当直线过A，B两点时，它与半圆交于两点，此时b1，直线记为l1；当直线与半圆相切时，b，直线记为l2.直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2)，1bxb恒成立，即半圆y在直线yxb上方，当直线l过点(1,0)时，b1，所求的b的取值范围是(，1).反思感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型.(1)形如u形式的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率的最值.(2)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离
5、平方的最值.(3)圆上的点到定直线或直线系的最值问题，可转化为圆心到直线的距离.跟踪训练2已知点P(x，y)是圆(x3)2(y3)24上任一点，求点P到直线2xy60的最大距离和最小距离.解方法一设圆与直线2xy60平行的切线为2xym0，圆心(3,3)，半径r2，2，m92.切线方程为2xy920，则直线2xy60与这两条切线的距离分别为d132，d232.圆上的点到直线的最大距离为32，最小距离为32.方法二如图，圆心到直线2xy60的距离d3，过圆心C作直线2xy60的垂线与圆C交于A，B两点，可知这两点就是到直线2xy60的距离最大和最小的点.所求最大距离为32，最小距离为32.与圆相
6、关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.1.已知圆x2y29的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为()A.y20 B.x2y50C.2xy0 D.x10答案B解析当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k2，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程为y2(x1)，
7、即x2y50.2.已知圆x2y22x2ya0(a2)截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y1)22a，则r22a，圆心(1,1)到直线xy20的距离为，由22()22a，得a4，故选B.3.若P(2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是_.答案xy30解析由题意知，PCAB，kAB1，直线AB的方程为y1x2，即xy30.4.直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则AB_.答案2解析由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以AB22.5.直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且MN2，则k的取值范围是_.答案(，0解析因为MN2，所以圆心(1,2)到直线ykx3的距离不大于1，即1，解得k0.