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第2课时 直线与圆的位置关系(习题课)学案(含答案)

1、第2课时直线与圆的位置关系(习题课)学习目标1.掌握直线与圆相交的综合问题.2.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.一、弦长问题例1(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135,则弦AB的长为_.答案解析方法一(交点法)由题意知,直线l的方程为y2(x1),即xy10.由解得或不妨设A,B.AB.方法二(弦长公式)由题意知,直线l的方程为y2(x1),即xy10.由消去y,得2x22x70.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x21,x1x2.AB.方法三(几何法)由题意知直线l的方程为y2(x1),即xy10,圆心O(0,0)到直线l的距

2、离为d,AB22.(2)圆心为C(2,1),截直线yx1所得的弦长为2的圆的方程为_.答案(x2)2(y1)24解析设圆的半径为r,由条件得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2,即半弦长为,r2224,得r2,所求圆的方程为(x2)2(y1)24.反思感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的距离公式AB 求解.(2)弦长公式:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线(直线l的斜率k存在且不为0)与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则AB|x1x2|,或AB|y1y2|.(3)几何法:

3、如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为AB,则有2d2r2,即AB2.通常采用几何法较为简便.跟踪训练1已知直线l:kxyk20与圆C:x2y28.(1)证明:直线l与圆C相交;(2)当直线l被圆截得的弦长最短时,求直线l的方程,并求出弦长.(1)证明l:kxyk20,直线l可化为y2k(x1),直线l经过定点(1,2).又(1)222xb解集为R,则实数b的取值范围是_.答案(1)2121 (2) 1,)(,1)解析(1)圆的方程化为(x2)2(y1)21,圆心(2,1)到直线yx1的距离为d2,所求的最近距离为21,最远距离为21. (2)方程yxb表示斜率为

4、1,在y轴上截距为b的直线l;方程y表示在x轴上及其上方的半径为1的半圆,如图所示,当直线过A,B两点时,它与半圆交于两点,此时b1,直线记为l1;当直线与半圆相切时,b,直线记为l2.直线l要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2),1bxb恒成立,即半圆y在直线yxb上方,当直线l过点(1,0)时,b1,所求的b的取值范围是(,1).反思感悟与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型.(1)形如u形式的最值问题,可转化为动点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率的最值.(2)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离

5、平方的最值.(3)圆上的点到定直线或直线系的最值问题,可转化为圆心到直线的距离.跟踪训练2已知点P(x,y)是圆(x3)2(y3)24上任一点,求点P到直线2xy60的最大距离和最小距离.解方法一设圆与直线2xy60平行的切线为2xym0,圆心(3,3),半径r2,2,m92.切线方程为2xy920,则直线2xy60与这两条切线的距离分别为d132,d232.圆上的点到直线的最大距离为32,最小距离为32.方法二如图,圆心到直线2xy60的距离d3,过圆心C作直线2xy60的垂线与圆C交于A,B两点,可知这两点就是到直线2xy60的距离最大和最小的点.所求最大距离为32,最小距离为32.与圆相

6、关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r,弦心距d,弦长l的一半构成直角三角形,利用勾股定理可求出弦长,这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间的距离公式求解,此法是通法.1.已知圆x2y29的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为()A.y20 B.x2y50C.2xy0 D.x10答案B解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k2,故所求直线的斜率为,所以所求直线方程为y2(x1),

7、即x2y50.2.已知圆x2y22x2ya0(a2)截直线xy20所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y1)22a,则r22a,圆心(1,1)到直线xy20的距离为,由22()22a,得a4,故选B.3.若P(2,1)为圆C:(x1)2y225的弦AB的中点,则直线AB的方程是_.答案xy30解析由题意知,PCAB,kAB1,直线AB的方程为y1x2,即xy30.4.直线yx1与圆x2y22y30交于A,B两点,则AB_.答案2解析由题意知圆的方程为x2(y1)24,所以圆心坐标为(0,1),半径为2,则圆心到直线yx1的距离d,所以AB22.5.直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M,N两点,且MN2,则k的取值范围是_.答案(,0解析因为MN2,所以圆心(1,2)到直线ykx3的距离不大于1,即1,解得k0.