1、习题课直线与方程学习目标1.掌握与直线有关的对称问题.2.通过解决最值问题体会数形结合思想与转化化归思想的应用.知识点一对称问题1.点关于直线对称设点P(x0，y0)，l：AxByC0(A，B不全为0)，若点P关于l的对称点为点Q(x，y)，则l是线段PQ的垂直平分线，故PQl且PQ的中点在l上，解方程组即可得点Q的坐标.常用的结论(1)A(a，b)关于x轴的对称点为A(a，b).(2)B(a，b)关于y轴的对称点为B(a，b).(3)C(a，b)关于原点的对称点为C(a，b).(4)D(a，b)关于直线yx的对称点为D(b，a).(5)E(a，b)关于直线yx的对称点为E(b，a).(6)P
2、(a，b)关于直线xm的对称点为P(2ma，b).(7)Q(a，b)关于直线yn的对称点为Q(a,2nb).2.直线关于点对称已知直线l的方程为AxByC0(A2B20)和点P(x0，y0)，求l关于点P的对称直线l的方程.设P(x，y)是对称直线l上的任意一点，它关于点P(x0，y0)的对称点(2x0x，2y0y)在直线l上，则A(2x0x)B(2y0y)C0即为所求的对称直线l的方程.3.直线关于直线对称一般转化为点关于直线对称的问题.在已知直线上任取一点，求此点关于对称轴的对称点，对称点必在对称直线上.常用的结论设直线l：AxByC0(A，B不全为0)，则：(1)l关于x轴对称的直线是A
3、xB(y)C0.(2)l关于y轴对称的直线是A(x)ByC0.(3)l关于原点对称的直线是A(x)B(y)C0.(4)l关于直线yx对称的直线是AyBxC0.(5)l关于直线yx对称的直线是A(y)B(x)C0.知识点二最值问题1.利用对称转化为两点之间的距离问题.2.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.3.利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值.一、对称问题命题角度1关于点对称问题例1(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P的坐标；(2)求直线3xy40关于点(2，1)的对称直线l的方程.解(1)根据题意可知点A(a，b)为PP的中点，设点P的坐标为
4、(x，y)，则根据中点坐标公式，得所以所以点P的坐标为(2ax0，2by0).(2)方法一设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，1)的对称点为M1(4x，2y)，且M1在直线3xy40上，所以3(4x)(2y)40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点A(0，4)，B(1，1)，则点A(0，4)关于点(2，1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，1)关于点(2，1)的对称点为B1(3，1).可得直线A1B1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.反思感悟(1)点关于点的对称问题若两点A(x1，y1)，B(x2，y
5、2)关于点P(x0，y0)对称，则点P是线段AB的中点，并且(2)直线关于点的对称问题若两条直线l1，l2关于点P对称，则l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上.若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等.过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.跟踪训练1已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是_.答案解析由中点坐标公式，得1且y，解得x4，y1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d.命题角度2关于直线对称问题例2点P(3,4)关于直线xy20
6、的对称点Q的坐标是_.答案(2,5)解析设对称点坐标为(a，b)，由题意，得解得即Q(2,5).反思感悟(1)点关于直线的对称问题求点P(x0，y0)关于AxByC0(A，B不全为0)的对称点P(x，y)时，利用可以求出点P的坐标.(2)直线关于直线的对称问题若两条直线l1，l2关于直线l对称，则l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上.过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点.跟踪训练2求直线x2y10关于直线xy10对称的直线l的方程.解由得两直线的交点为A(1,0).在直线x2y10
7、上取点B，设点B关于直线xy10的对称点为C(x0，y0)，则有解得即点C的坐标为.由所求直线经过A，C两点，得，即2xy20，所求直线l的方程为2xy20.二、最值问题例3在直线yx2上求一点P，使得点P到直线l1：3x4y80和直线l2：3xy10的距离的平方和最小.解设直线yx2上一点P(x0，x02)到直线l1和l2的距离分别为d1和d2.d1，d2，设Sdd，S，当x0时，S有最小值，这时，x02.所求点P的坐标为.反思感悟解决此类问题通常有两种途径：一是利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；二是利用距离公式转化为二次函数求最值问题.跟踪训练3已知实数x，y满足6x8y10，则
8、 的最小值为_.答案解析，上式可看成是直线6x8y10上一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离，MN的最小值应为点N到直线l的距离，即MNmind.三、对称与最值的综合应用例4在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)点P到点A(4,1)和点B(0,4)的距离之差最大；(2)点P到点A(4,1)和点C(3,4)的距离之和最小.解(1)如图，点B关于l的对称点为B(3,3).直线AB的方程为2xy90，由解得即所求点P的坐标为(2,5).(2)如图，点C关于l的对称点为C，由图可知，当A，P，C三点共线时，PAPC取得最小值.A
9、C所在的直线方程为19x17y930，联立解得即所求点P的坐标为.反思感悟利用对称转化为两点间的距离是求解最值的一种常用方法.跟踪训练4已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4).(1)在直线l上求一点P，使PAPB最小；(2)在直线l上求一点P，使|PBPA|最大.解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8).因为P为直线l上的一点，则PAPBPAPBAB，当且仅当B，P，A三点共线时，PAPB取得最小值AB，点P即为直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3).(2)A，B两点在直线l的同侧，点P是直线l上的一点，则|PBPA|AB，当且仅当
10、A，B，P三点共线时，|PBPA|取得最大值AB，点P即为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10).1.对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种：点关于点对称、点关于线对称、线关于点对称、线关于线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型.转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题.2.最值问题数形结合思想和转化化归思想常体现在求最值问题中.1.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为_.答案x2y50解析设
11、O(0,0)，则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于，由点斜式求得所求的直线方程为y2(x1)，化简可得x2y50.2.设两条直线的方程分别为xya0，xyb0.已知a，b是方程x2xc0的两实根，则这两直线间距离的最大值为_.答案解析a，b是方程x2xc0的两个实根，ab1，abc，(ab)2(ab)24ab14c.又两直线间的距离d ，d，两直线间距离的最大值为.3.点P(2,5)关于直线xy1对称的点的坐标是_.答案(4，1)解析设对称点坐标为(x0，y0)，则解得4.已知点A(3，1)，B(5，2)，点P在直线xy0上，若使PAPB取最小值，则点P坐标是_.答案解析点A(3，1)关于直线xy0的对称点为A(1，3)，直线AB的方程为yx，与xy0联立方程组并解得所以点P.5.已知点P(x，y)满足xy10，求x2y22x2y2的最小值.解原式可化为(x1)2(y1)2，其几何意义为点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方，而点P(x，y)在直线xy10上.设d为点Q到直线xy10的距离，由PQd，得，即x2y22x2y2.故所求的最小值为.