1、2.2.2直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.知识点直线与圆的三种位置关系及判定位置关系相离相切相交图示几何法比较d与r的大小drdrd0，该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交.方法二(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为d2.dr6，直线l与圆C相交.二、切线问题例2过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程.解(12)2(43)2101，点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足
2、题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y4k(x1)，即kxy4k0.圆心(2,3)到切线l的距离为1，解得k0或k，因此，所求直线l的方程为y4或3x4y130.反思感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系知，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果斜率为0或斜率为不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到
3、直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_.答案x2y50解析点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2y25，所以该圆在点P处的切线方程为y2(x1)，即x2y50.三、有关切线的最值问题例3点P是直线2xy100上的动点，PA，PB与圆x2y24分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为_.答案8解析如图所示，因为S四边形PAOB2SPOA，又OAAP，所以S四边形PAOB2OAPA22.为使四边形
4、PAOB的面积最小，当且仅当OP达到最小值，即为点O到直线2xy100的距离，故OPmin2.故所求最小值为28.反思感悟与圆有关的最值问题大致分为两类：一类运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再进行计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题.这类问题具有较强的综合性.跟踪训练3过定点P(2,1)作动圆C：x2y22aya220的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值为_.答案解析由题意知圆心C(0，a)，半径r，则PT，当a1时，PT的长最小为.1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或
5、圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，当切线的斜率存在且不为0时，由圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.如果切线斜率不存在或为0，则切线方程可直接写出.(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在.1.直线xy20与圆(x1)2(y1)24的位置关系是()A.直线过圆心 B.相切C.相离 D.相交但直线不过圆心答案D解析圆心坐标为(1，1)，半径r2，圆心到直线xy20的距离为d1，所以m10.4.平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线方程为_.答案2xy50和2xy50解析依题意可设所求切线方程为2xyc0，则圆心(0,0)到直线2xyc0的距离为，解得c5.故所求切线的直线方程为2xy50和2xy50.5. 过点M(2,4)向圆(x1)2(y3)21引切线，求其切线方程.解由题意可知圆心为(1，3)，半径r1，因为(21)2(43)21，所以点在圆外，当斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，由于直线与圆相切，故1，解得k.所以切线方程为24x7y200；当切线斜率不存在时，其切线方程为x2，满足题意.综上，所求切线方程为x2或24x7y200.