1、2.3空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.知识点1.空间直角坐标系定义从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy135，yOz90，xOz135图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正
2、方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系2.空间中一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.3.空间两点间的距离公式 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP.(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2.一、空间中点的坐标的确定例1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E
3、，F，G，H的坐标.解建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由F作FMAD，FNCD，垂足分别为M，N，由平面几何知识知FM，FN，故F点坐标为.因为CGCD，G，C均在y轴上，故G点坐标为.由H作HKCG，可得DK，HK，故H点坐标为.反思感悟求某点P的坐标的方法先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中ON，NM，MP即为点P坐标的绝对值，再按ONMP确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标.提示：求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐
4、标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标.跟踪训练1已知棱长为2的正方体ABCDABCD，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标.解对于图，因为点D是坐标原点，A，C，D分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上.又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2).因为点B在xDy平面上，它在x轴，y轴上的射影分别为A，C，所以B(2,2,0).同理，A(2,0,2)，C(0,2,2).因为B在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D，所以B(2,2,2).对于图，A，B，C，D都在xD
5、y平面的下方，所以其竖坐标都为负，A，B，C，D都在xDy平面上，所以其竖坐标都为零.因为D是坐标原点，A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0，2).同，得B(2,2,0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2).二、求空间对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，点P(2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为
6、原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4).(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12).反思感悟(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.(1)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：关于原
7、点对称的点的坐标是P1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(x，y，z)；关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，z)；关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(x，y，z)；关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，y，z).跟踪训练2已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1的坐标，M关于xOy平面对称的点M2的坐标，M关于x轴、y轴对称的点M3的坐标及M4的坐标.解由于点M与M1关于原点对称，所以M1(2，1，3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐
8、标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，1，3)，同理M4(2,1，3).三、空间两点间的距离例3如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3，AA12，点M在A1C1上，MC12A1M，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度.解如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，DD1CC1AA12，C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，N为CD1的中点，N.M是A1C1的三分之一分点且靠近A1
9、点，M(1,1,2).由两点间距离公式，得MN.反思感悟利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：跟踪训练3如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1CCBCA2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.C1CCBCA2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，DE，EF.1.已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平
10、移点的方法，将原点分别按坐标轴正方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置.(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.2.空间两点间距离的问题(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键；(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.1.点A(1,2,1)在x轴上的射影点和在xOy平面上的射影点的坐标分别为()A.(1,0,1)，(1,2,0)B.(1,0,0)，(1,2,0)C.(1,0,0)，(1,0,0)D.(1,2,0)，(1,2,0)答案B解析点A(1,2,1)在x轴上的射影点为(1,0,0).在xOy平面上的射影为(1,2,0).2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB2，则实数x的值是()A.3或4 B.6或2 C.3或4 D.6或2答案D解析由空间两点间的距离公式，得2，解得x6或x2.3.已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_.答案(4,0，1)解析线段AB中点的坐标为，即(4,0，1).4.若A(4，7,1)，B(6,2，z)，AB11，则z_.答案5或7解析AB11，(64)2(27)2(z1)2112，化简得(z1)236，即|z1|6，z5或z7.