1、第2课时两平面垂直的判定学习目标1.了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理.知识点一二面角概念一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形图示平面角定义一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角图示符号OA，OB，l，Ol，OAl，OBlAOB是二面角的平面角范围0，规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为，的二面角记为l，如图所示，也可在，内(棱以外的半平面
2、部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的概念(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.(2)画法：(3)记作：.2.判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l，l一、二面角的概念及求法例1如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小.解因为E为SC的中点，且SBBC，所以BESC.又DESC，BEDEE，BE，DE平面BDE，所以SC平面BDE，所以BDS
3、C.又SA平面ABC，可得SABD，又SCSAS，SC，SA平面SAC，所以BD平面SAC，从而BDAC，BDDE，所以EDC为二面角EBDC的平面角.设SAAB1，在ABC中，因为ABBC，所以SBBC，AC，所以SC2.所以在RtSAC中，DCS30，所以EDC60，即二面角EBDC为60.反思感悟(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.(2)作二面角平面角的方法定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线(射线)，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.垂线法：利用线面垂直的
4、性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，过C1，B，D三点作一个平面，求二面角C1BDC的正切值.解取BD的中点O，连结CO，C1O，因为BD是二面角C1BDC的棱，ABCDA1B1C1D1为正方体，O是底面正方形ABCD对角线BD的中点.所以COBD.又C1DC1B，所以C1OBD.因此，C1OC即为二面角C1BDC的平面角.设正方体的棱长为1，在RtC1CO中，C1C1，CO，所以tanC1OC，即二面角C1BDC的正切值为.二、面面垂直的判定例2如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平
5、面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD平面ABCD.证明如图，连结AC，与BD交于点O，连结EO.因为O为平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，所以O为AC的中点.又E为SA的中点，所以OE为SAC的中位线，所以OESC.又SC平面ABCD，所以SC垂直于平面ABCD内的两条直线，所以OE垂直于平面ABCD内的两条相交直线，所以OE平面ABCD.又OE平面EBD，所以平面EBD平面ABCD.反思感悟(1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法，只
6、需要证明两个平面构成的二面角为直二面角.跟踪训练2如图所示，PA平面ABC，AB1，BC，AC2，求证：平面PBC平面PAB.证明PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又AB2BC2134AC2，BCAB.又PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PBC平面PAB.三、与面面垂直有关的探索性问题例3如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，PA底面ABCD，PA.在CD上确定一点E，使得平面PBE平面PAB.解取CD的中点E，连结PE，BE，BD.由底面ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE
7、CD.又ABCD，所以BEAB.又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，PA，AB平面PAB，所以BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.所以当E为CD的中点时，平面PBE平面PAB.反思感悟存在性问题是将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题.需要先找到相应的点、线、面之间平行与垂直关系再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面平行与垂直关系.跟踪训练3如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角ADEP为
8、直二面角？并说明理由.(1)证明PA底面ABC，BC底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又ACPAA，AC，PA平面PAC，BC平面PAC.(2)解存在点E使二面角ADEP为直二面角，理由如下：DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，BC垂直于平面PAC内的两条相交直线，DE垂直于平面PAC内的两条相交直线，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角.PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时AEP90，即二面角ADEP为直二面角.故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角.证明两个平面垂直的
9、主要途径(1)利用面面垂直的定义.(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.1.下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析根据二面角的定义知都不正确.2.在空间四边形ABCD中，若ADBC，ADBD，那么有()A.平面ABC平面ACDB.平面ABC平面ABDC.平面ABC平面BCDD.平面ADC平面BCD答案D解析ADBC，ADBD，BCBDB，BC，BD平面BCD，AD
10、平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面BCD.3.如图所示，已知PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中互相垂直的面共有_对.答案3解析PA平面ABC，PA平面PAC，PA平面PAB，平面PAC平面ABC，平面PAB平面ABC.又BCAC，PABC，ACPAA，AC，PA平面PAC，BC平面PAC，又BC平面PCB，平面PCB平面PAC.图中互相垂直的面共3对.4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)二面角D1ABD的大小是_；(2)二面角A1ABD的大小是_.答案(1)45(2)90解析(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB平面AD1，则
11、ABAD1.又ABAD，所以D1AD即为二面角D1ABD的平面角，在RtD1AD中，D1AD45.所以二面角D1ABD的大小为45.(2)与(1)同理，A1AD为二面角A1ABD的平面角，所以二面角A1ABD的大小为90.5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，DC，BC平面BDC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.