1、1.3.2空间几何体的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积.知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1.柱体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高).2.锥体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高).3.台体的体积公式V(SS)h(S，S为上、下底面面积，h为高).4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.知识点二球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S4R2(R为球的半径).2.球的体积公式VR3.知识点三球体的截面的特点1.球既是中心对称
2、的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.一、柱体、锥体、台体的体积例1(1)把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为_.答案或解析设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则当2r6时，r，l3，所以V圆柱r2l23.当2r3时，r，l6，所以V圆柱r2l26.所以所求圆柱的体积为或.(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥.求剩余部分的体积；求三棱锥AA1BD的体积及高.解SABDA1AABADA1Aa3.故剩余部分的体积V
3、V正方体a3a3a3.a3.设三棱锥AA1BD的高为h，则h(a)2ha2h，故a2ha3，解得ha.(3)棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是()A.186 B.62C.24 D.18答案B解析V(SS)h(24)362.反思感悟求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.提醒：求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，
4、准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.解设ABa，ADb，AAc，VCADDCDSADDabcabc，剩余部分的体积为VABCDABCDVCADDabcabcabc，棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.(2)圆台上底的面积为16 cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？解如图，由题意可知，圆台的上底面半径为4 cm，于是S圆台侧(rr)l100(cm2).圆台的高hBC4(cm)，V圆台h(SS)4(1636)(cm3).二、球的表
5、面积与体积例2(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_.答案a2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知APaa，OPa，所以球的半径ROA满足R222a2，故S球4R2a2.(2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为_.答案解析球的直径是长方体的体对角线，2R，VR3.延伸探究1.若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”，求此球的体积.解正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R，所以R，所以V球()34.2.若
6、把本例(2)换成“棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上”，求球的体积.解把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则ax，由题意知2Rxa，所以Ra，所以V3a3.3.若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a”，求球的体积.解把三棱锥的三条侧棱看作是长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故2Ra，所以V球R33a3.反思感悟“切”“接”问题的处理规律(1)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.(2)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决
7、，截面过球心.跟踪训练2求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.解如图，等边ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OER，OA2OE2R.ADOAOD2RR3R，BDADtan 30R，V球R3，V圆锥BD2AD(R)23R3R3，V球V圆锥49.三、组合体的体积例3如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积.解V六棱柱426248(cm3)，V圆柱32327(cm3)，V挖去圆柱12(32)5(cm3)，此几何体的体积VV六棱
8、柱V圆柱V挖去圆柱(4822)(cm3).反思感悟代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别.跟踪训练3如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的几何体的体积.解如图，过点C作CE垂直于AD，交AD延长线于点E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积.所以所求几何体的体积VV圆台V圆锥(525222)4222.1.柱、锥、台体积之间的关系2.几何体的“接”“切”问题(1)几何体的“接”“切”关系：两个几何体相接是指
9、一个几何体的所有顶点(包括某一面周线上所有点或一个面的所有点)都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.(2)解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系.球与旋转体的组合体，通常作出它们的轴截面解题；球与多面体的组合体，则可通过多面体的一条侧棱与“球心”“切点”“接点”作出轴截面，从而把空间问题转化为平面问题解决.1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为()A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3 D.125 cm3答案B解析V34560(cm3).2.圆台的体积为7，上、下底
10、面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A.3 B.4 C.5 D.6答案A解析由题意知，V(24)h7，所以h3.3.正方体的外接球的体积是其内切球的体积的_倍.答案3解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为.外接球的体积为3，内切球的体积为3，外接球的体积是内切球的体积的3倍.4.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是_ cm.答案4解析铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，铜质的五棱柱的体积V16464(cm3).设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，则a364，解得a4(cm).5.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.解不会溢出杯子.理由如下：因为V半球R343(cm3)，V圆锥R2h421264(cm3)，所以V半球V圆锥，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子.