1、2.1直线与方程2.1.1直线的斜率第1课时直线的斜率学习目标1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.知识点一直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0记法图示范围0180作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可知识点二直线的斜
2、率与倾斜角的关系1.直线的斜率把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan .2.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k0知识点三过两点的直线的斜率公式已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1x2，那么直线PQ的斜率为k(x1x2).一、直线的倾斜角例1(1)图中是直线l的倾斜角吗？试用表示图中各条直线l的倾斜角.解设直线l的倾斜角为，结合倾斜角的定义可知，图中是直线l的倾斜角，即.图中不是直线l的倾斜角，但与互补，即有180.图中不是直线l的倾斜角，但与是对顶角，故.图中不是直线l的倾斜角，但90.(2)已知直线l1
3、的倾斜角115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120，如图所示，则直线l2的倾斜角为_.答案135解析如图，由题意知，3120，2120.1180120145，218045135.反思感悟求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，则直线l的倾斜角为_.答案60或120解析有两种情况：如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60，即直线l的倾斜角为60.如图(2)，直线l向上方向
4、与x轴正向所成的角为120，即直线l的倾斜角为120.二、直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10).解(1)存在.直线AB的斜率kAB1，即tan 1，又0180，所以倾斜角45.(2)存在.直线CD的斜率kCD1，即tan 1，又0180，所以倾斜角135.(3)不存在.因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角90.反思感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂
5、直时，斜率是不存在的；斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.(2)在0180范围内的一些特殊角的正切值要熟记倾斜角0304560120135150斜率k011跟踪训练2已知点A(2，1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45，则点P的坐标为_.答案(3,0)或(0，3)解析若设点P的坐标为P(x,0)，则ktan 451，x3，即P(3,0).若设点P的坐标为P(0，y)，则ktan 451，y3，即P(0，3).三、三点共线问题例3若A(1,1)，B(3,5)，C(a，7)三点共线，则a的值为_.答案4解析由斜率公式得kA
6、B2，因为A，B，C三点共线，所以kABkAC，所以2，解得a4.反思感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.跟踪训练3如果三点A(2,1)，B(2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值.解kAB，kAC，A，B，C三点共线，kABkAC，即，m6.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况与x轴平行或重合垂直于x轴的大小009090900不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大1.若直线l经过点M(2,3)，N(2，1)，则直
7、线l的倾斜角为()A.0 B.30 C.60 D.90答案D解析依题意可知，直线l与x轴垂直，直线l的倾斜角为90.2.已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB4，则点B的坐标为()A.(2,0)或(0，4) B.(2,0)或(0，8)C.(2,0) D.(0，8)答案B解析设B(x,0)或(0，y)，kAB或kAB，4或4，x2，y8，点B的坐标为(2,0)或(0，8).3.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m_.答案2解析由tan 45，得m2.4.对于下列说法：若是直线l的倾斜角，则0180；若k是直线的斜率，则kR；任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确的有_个.答案3解析正确.5.已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角.解l2的斜率为1，l2的倾斜角为45，由题意可得：l1的倾斜角为22.5，l3的倾斜角为67.5，l4的倾斜角为90.