1、2.1.5平面上两点间的距离学习目标1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式.2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题.3.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.知识点一两点间的距离1.条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).2.结论：P1P2.3.特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离OP.提示当直线P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，当直线P1P2平行于x轴时P1P2|x2x1|；当直线P1P2平行于y轴时P1P2|y2y1|.知识点二中点坐标公式一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则一
2、、两点间的距离公式例1如图，已知ABC的三顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积.解(1)方法一AB，AC，又BC，AB2AC2BC2，且ABAC，ABC是等腰直角三角形.方法二kAC，kAB，kACkAB1，ACAB.又AC，AB，ACAB，ABC是等腰直角三角形.(2)SABCACAB()226，ABC的面积为26.反思感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否
3、相等或是否满足勾股定理.跟踪训练1已知点A(1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使PAPB，并求PA的值.解设P(x,0)，PA，PB，PAPB，得x1，P(1,0)，PA2.二、中点坐标公式例2ABC的两个顶点为B(2,1)，C(2,3)，求BC边的垂直平分线的方程.解因为B(2,1)，C(2,3)，所以kBC，线段BC的中点坐标是，即(0,2)，所以BC边的垂直平分线方程是y22(x0)，整理得2xy20.反思感悟求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于1，二是平分，即直线过线段的中点.跟踪训练2若ABC的顶点A(5,0)，B(
4、3，2)，C(1,2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为()A.3xy20 B.x3y40C.x3y20 D.3xy40答案C解析由题意，可得线段AB的中点为(1，1)，线段BC的中点为(2,0).因此所求直线方程为，即x3y20.三、运用坐标法解决平面几何问题例3在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2AC22(AD2DC2).证明以BC所在直线为x轴，以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(a,0).AB2(ab)2c2，AC2(ab)2c2，AD2b2c2，DC2a2，AB2AC22(a2b2c2)，AD2DC2a2b2c2，AB2AC
5、22(AD2DC2).反思感悟利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤(1)建立平面直角坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练3已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：ACBD.证明如图所示，以点A为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)，则AC，BD.故ACBD.1.坐标平面内两点间的距离公式是解析几何中的最基本、最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，已知两点间
6、的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.2.解析法证明几何问题的步骤1.已知M(2,1)，N(1,5)，则MN等于()A.5 B. C. D.4答案A解析MN5.2.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是()A.x2y21 B.x2y20C.1 D.0答案C解析由两点间的距离公式得：1.3.已知点M(1,3)和点N(5,1)，点P(x，y)到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是_.答案3xy40解析由PMPN，得，即3xy40.4.若三角形的顶点分别为A(2，3)，B(2，5)，C(6,4)，则AB边上的中线长为_.答案10解析AB的中点坐标为(0，4)，AB边上的中线长为10.5.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则AB的长为_.答案13解析设A(a,0)，B(0，b)，则a5，b12，即A(5,0)，B(0,12)，所以AB13.