1、2.1.4两条直线的交点学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问题.知识点一几何元素及其表示几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线l1l1：A1xB1yC10点A在直线l1上A1aB1bC10直线l1与l2的交点是A知识点二直线的交点与直线的方程组解的关系方程组的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行一、两直线的交点问题命题角度1代数法判断两直线的位置关系例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)
2、l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1).(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合.(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.反思感悟两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练1判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标.(1)l1：3x5y30和l2：15x25y10；(2)l1：2xy40和l2：
3、4x2y30.解(1)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.(2)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为.命题角度2根据交点求参数的值或范围例2已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限，则a的取值范围是_.答案解析由得由得a2.延伸探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围是多少？解由例2得交点坐标为，则由得a.反思感悟求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围.跟踪训练2若直线l1：ykxk2与l2：y2x4的交点在第一象限，则实数k的取值
4、范围是_.答案解析由得由得k2.二、求过两条直线交点的直线方程例3求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程.解方法一解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.方法二设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0. (*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.延伸探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线
5、3xy10垂直，所以3(2)(3)10，解得，所以所求直线方程为5x15y180.反思感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.跟踪训练3直线l经过原点，且经过另外两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为_.答案2xy0解析设所求直线方程为2x3y8(xy1)0，即(2)x(3)y80，因为l过原点，所以8.则所求直线方程为2xy0.三、直线恒过定点
6、问题例4求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明方法一对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，3).将点(2，3)代入直线，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).方法二将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).反思感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)任给直线中的参数赋两个
7、不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0).跟踪训练4不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐标是_.答案(9，4)解析方法一取m1，得直线y4.取m，得直线x9.故两直线的交点为(9，4)，下面验证直线(m1)x(2m1)ym5恒过点(9，4).将x9，y4代入方程，左边(m1)94(2m1)m5右边，故直
8、线恒过定点(9，4).方法二直线方程可变形为(x2y1)m(xy5)0，对任意m该方程恒成立，解得故直线恒过定点(9，4).1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10.2.直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线A1xB1yC10与A2xB2yC20交点的直线，不包括直线A2xB2yC20.1.直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A.(4,1) B.(1,4)C. D.答案C解析由可得交点坐标为.2.当0k1时，两条直线yx1,2xyk20的交点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析联
9、立两直线方程得它们的交点坐标为，因为0k1，所以k10，因此点(k1，k)在第二象限.3.不论m取什么实数，直线mxym0都过定点的坐标为_.答案(1,0)解析由题意可知m(x1)y0.由可知故不论m取什么实数，直线mxym0都过定点(1,0).4.下列各组直线中，两直线相交的为_.(填序号)yx2和y1；xy10和yx5；xmy10(m2)和x2y10；2x3y10和4x6y10.答案解析两直线显然相交；两直线平行；直线xmy10过点(1,0)，直线x2y10过点(1,0)，故两直线相交；两直线平行.5.已知直线xy3m0和2xy2m10的交点M在第四象限，求实数m的取值范围.解由得交点M的坐标为.交点M在第四象限，解得1m.m的取值范围是.