1、1 山东省泰安市第四中学山东省泰安市第四中学 20202020 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 其中 1-10 题是单选题，11-12 题 是多选题） 1. 设集合，则AB ( ) 2 1213,logAxxBx yx A.(0,1B. 1,0 C 1,0) D.0,1 2已知 2 33 3 2 11 ,log 32 abc ，则, ,a b c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccab D cba 3. 已知 n S是等差数列 n a的前 n 项和， 377 8,35aaS，则 2 a （） A.5B.
2、6 C.7 D.8 4设xR，则“x+12”是“lgx0”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5设xy0，x+y=1，若，则实数 a，b，c 的 1 ( )ya x 1 () log xy bxy 1 log y cx 大小关系是 AabcBbac CbcaDcba 6设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且，则下列命lm 题中真命题是 A若l，则B若lm，则 C若，则lmD若，lm 7函数的图象大致为 33lg xx f xx 2 8若非零向量a b 、满足ab ，向量2ab 与b 垂直，则a 与b 的夹角为 A 150 B 120 C60 D30
3、 9. 已知函数( )sin3cosf xaxx的图像的一条对称轴为直线 5 6 x ，且 12 ()()4f xf x ，则 12 xx的最小值为( ) A. 3 B. 0 C. 3 D. 2 3 10用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积 为 ABCD 8 3 8 2 3 8 2 32 3 11已知空间中两条直线a，b所成的角为 50，P 为空间中给定的一个定点，直线l过点 P 且与直线a和直线b所成的角都是(090)，则下列选项正确的是 A当=15时，满足题意的直线l不存在 B当=25时，满足题意的直线l有且仅有 l 条 C当=40时，满足题意的直线l有且仅
4、有 2 条 D当=60时，满足题意的直线l有且仅有 3 条 12. 设函数 2 ( )ln(0) 2 ax f xax a e ，若( )f x有 4 个零点，则a的可能取值有( ) A. 1B. 2C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 已知0,且 3 cos 65 则sin_. 14若在ABC中，1BC ，其外接圆圆心O满足0OCOBOA，则AB AC . 15. 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把 100 个 3 面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之 1 7 和，则最
5、小一份的量为 . 16已知函数 yf x 在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导 函数为 fx ，当 0x 时，有不等式 2 2x fxxf x 成立，若对 xR ，不等式 0)()( 222 axfxaefe xx 恒成立，则正数a的最大值为_. 17（10 分）已知ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 2cos( coscos)0C aCcAb （1）求角C的大小； （2）若2,2 3bc，求ABC的面积 18(12 分)己知集合， 2 4120Ax xx 22 40Bx xxm+4 (1)求集合 A、B； (2)当m0 时，若xA 是xB 成立的充
6、分不必要条作，求实数m的取值范围 19. （12 分）设数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，数列 n b满足 n n an b 2 log)1( 1 ， （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 n T 4 20 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，为矩形， PABCDABCD 是以为直角的等腰直角三角形，平面平面 APBPPABABCD (1)证明：平面平面； PADPBC (2) 为直线的中点，且，求锐二面角的余弦值. MPC2APADAMDB 21(12 分)某市城郊有一块大约 500m500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建 一个综合性
7、休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作 为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为 S 平方米 (1)分别用x表示y及 S 的函数关系式，并给出定义域； (2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积 S 最大，并求出最大值 5 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )ln1() 2 f xxaxaR . （）若函数 ( )f x 在1,2上是单调递增函数，求实数a的取值范围； （）若 20a ，对任意 12 ,1,2x x ，不等式 12
8、12 11 ()()f xf xm xx 恒成立， 求实数m的取值范围. 6 2017 级高三上学期期中考试 数 学 试 题（答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 其中 1-10 题是单选题，11-12 题 是多选题） 1-5. ADCBC 610.ADBDB 11.ABD 12.BCD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 10 334 14 2 1 15 16 e 5 3 三、解答题（本大题共 6小题，第17题10分，第19-22题12分，共70分） 17 （1）2cos( coscos)0C aCcAb， 由正弦定理可
9、得2cos(sincossincos)sin0CACCAB， 2 2cossin()sin0CACB，即2cossinsin0CBB，3 又0180B，sin0B ， 1 cos 2 C ，即120C 5 （2）由余弦定理可得 2222 (2 3)22 2 cos12024aaaa ， 又0,2aa， 8 1 sin3 2 ABC SabC ，ABC的面积为310 18.解：（1）由，得. 故集合1 分 2 4120xx26x | 26Axx 由，得 ， . 22 44=0xxm 1=2+ xm 2=2 xm 当时，由得0m 22,mm 22 440xxm22,mxm 故集合 3 分 |22B
10、xmxm . 当时，由得：0m 22,mm 22 440xxm22,mxm 故集合 5 分 |2+2Bxmxm . 当时，由得故集合 6 分 =0m 2 440xx2x = 2Bx x. (2) 是成立的充分不必要条件，xAxB 7 是的真子集， 7 分 2,6 2,2mm 则有，解得， 10 分 22 22 26 mm m m 4m 又当时，不合题意，11 分4m 2,2 2,6mm 实数的取值范围为. 12 分m(4,) 19.解：（1） 11 12,naS时，2 1 11 22,22222 nnn nnnnn SSnaSSn 4 2 1 a符合2n n a 数列 n a的通项公式为：2n
11、 n a 6 （2） nnn b n n )1( 1 2log)1( 1 2 1 11 nn 8 1 11 3 1 2 1 2 1 1 nn Tn 1 1 1 n 12 18 （）证明：为矩形， ABCDADAB 平面平面，平面平面， PAB ABCDPABABCDAB 平面，则， ADPABADPB 又， PAPBPAADA 平面，而平面， PBPADPB PBC 平面平面； PAD PBC （）取中点 O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， AB ,OP OB, x y 由，是以为直角的等腰直角三角形，得： 2APADAPBP ， 22 0,2,0 ,0,2,2 ,0, 2,0 ,1
12、22 ADBM 8 23 223 222 , 1 ,1 , 1 222222 MAMDMB 设平面的一个法向量为， MAD , ,mx y z 由，取，得； 23 2 0 22 23 2 0 22 m MAxyz m MDxyz 1y 3,1,0m 设平面的一个法向量为， MBD , ,nx y z 由，取，得. 23 2 0 22 22 0 22 n MDxyz n MBxyz x11,-1,- 2 n 二面角的余弦值为 1 cos 5 0 , m n m n m n AMDB 10 5 21.解：（1）由已知其定义域是(6,500).2 分 3000 3000,xyy x (4)(6)(2
13、10) ,Sxaxaxa ,其定义域是(6,500).6 分 150015000 (210)(3)30306Sxx xx （2）9 1500015000 3030(6 )30302 630302 3002430,Sxx xx A 分 当且仅当，即时，上述不等式等号成立， 15000 =6x x 50(6,500)x 此时，11 分 max 5060,2430.xyS， 答：设计 时，运动场地面积最大，最大值为 2430 平方米. 12 分50m60mxy， 22 （）易知 ( )f x 不是常值函数， 2 1 ( )ln1 2 f xxax 在 1,2 上是增函数， ( )0 a fxx x
14、恒成立，2 所以 2 ax ，只需 2 min ()1ax ；4 （）因为 20a ，由（）知，函数 ( )f x 在1,2上单调递增， 9 不妨设 12 12xx ，则 12 12 11 f xf xm xx ， 可化为 21 21 () mm f xf x xx （ ，6 设 2 1 ( )( )ln1 2 mm h xf xxax xx ，则 12 ()()h xh x ， 所以 ( )h x 为1,2上的减函数，8 即 2 ( )0 am h xx xx 在1,2上恒成立， 等价于 3 mxax 在1,2上恒成立，10 设 3 ( )g xxax ，所以 max ( )mg x ， 因 20a ，所以 2 ( )30g xxa ，所以函数 ( )g x 在1,2上是增函数， 所以 max ( )(2)8212g xga （当且仅当 2a 时等号成立） 所以 12m 12