1、2019-2020学年山西省长治二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，3，5，B3，4，5，则AB（）A2，6B3，5C1，3，4，5D1，2，4，62（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上是增函数的是（）ABy2xCyx2Dy2x3（5分）函数f（x）ax2+1（a0，a1）的图象恒过定点（）A（0，1）B（0，2）C（2，1）D（2，2）4（5分）若函数f（x）x22mx+1在2，+）上是增函数，则实数m的取值范围是（）A（，1B1，+）C2，+）D（，25（5分
2、）已知函数f（x）ax2+bx+3是定义在a3，2a上的偶函数，则a+b的值是（）A1B1C3D06（5分）下列说法正确的是（）A函数f（x）的图象与直线x1最多有一个交点B分段函数是由两个或几个函数组成的C函数的单调减区间是（，0）（0，+）D若MN0，则loga（MN）logaM+logaN（a0且a1）7（5分）设a50.4，blog0.30.4，clog0.40.2，则a，b，c的大小关系是（）AcabBbacCabcDacb8（5分）已知集合Ay|y2x，xR，Bx|4x18，则AB（）ABCD9（5分）函数f（x）ln（x2+x）的增区间为（）AB（0，+）C（，1）D0，+）10
3、（5分）函数y的图象大致是（）ABCD11（5分）已知函数是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A（0，1）BCD12（5分）设函数在区间12，12上的最大值为M，最小值为N，则（M+N1）2019的值为（）A1B1C22019D0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）某班级共有50名同学，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的10名，则体育和文艺都不爱好的有 名14（5分）函数的定义域是 15（5分）已知函数f（x）（m2+m1）xm+3是幂函数，且该函数是偶函数，则m的值是 16（5分）已知函数f
4、（x）是奇函数，当x0时，f（x）x2x，若不等式f（x）+x2logax（a0且a1）对任意的恒成立，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共70分17（10分）计算：（1）（2）lg125+lg2lg500+（lg2）218（12分）已知集合Ax|a6x2a，Bx|x24x120，全集为R（1）设a2，求A（RB）（2）若ABB，求实数a的取值范围19（12分）已知函数f（x）a+m（a，m为常数，a0且a1）在区间上有最大值3，最小值，求a，m的值20（12分）已知函数为奇函数，且f（1）10（1）求函数f（x）的解析式（2）判断函数f（x）在（3，+）的单调性并证明21
5、（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）x2+2x现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：（1）写出函数f（x），xR的增区间并将图象补充完整；（2）写出函数f（x），xR的解析式；（3）若函数g（x）f（x）4ax+2，x1，3，求函数g（x）的最小值22（12分）已知函数f（x）lg（1x）lg（1+x）（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明（2）证明：（3）证明：，其中nN*2019-2020学年山西省长治二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
6、要求的.1（5分）已知集合A1，3，5，B3，4，5，则AB（）A2，6B3，5C1，3，4，5D1，2，4，6【分析】进行并集的运算即可【解答】解：A1，3，5，B3，4，5，AB1，3，4，5故选：C【点评】考查列举法的定义，以及并集的运算2（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上是增函数的是（）ABy2xCyx2Dy2x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y，为反比例函数，是奇函数但在区间（0，+）上是减函数，不符合题意；对于B，y2x，为正比例函数，既是奇函数又在区间（0，+）上是增函数，符合题意，对
7、于C，yx2，是二次函数，是偶函数，不符合题意；对于D，y2x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题3（5分）函数f（x）ax2+1（a0，a1）的图象恒过定点（）A（0，1）B（0，2）C（2，1）D（2，2）【分析】令x20，得x2，可求得f（2），则（2，f（2）即为定点【解答】解：令x20，得x2，此时f（2）a22+1a0+12，所以函数f（x）图象恒过定点（2，2），故选：D【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，属基础题4（5分）若函数f（x）x22mx+1在2，+）上是增函数
8、，则实数m的取值范围是（）A（，1B1，+）C2，+）D（，2【分析】由函数f（x）x22mx+1开口向上，比较区间端点与对称轴的关系进而求解；【解答】解：f（x）x22mx+1开口向上，在2，+）上是增函数，则对称轴xm2，故选：D【点评】考查二次函数图象的理解与应用，单调区间与对称轴的关系；5（5分）已知函数f（x）ax2+bx+3是定义在a3，2a上的偶函数，则a+b的值是（）A1B1C3D0【分析】由偶函数的定义域关于原点对称，f（x）f（x）进而求解；【解答】解：函数f（x）ax2+bx+3是定义在a3，2a上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可知，a3+2a0，解得a1；f（
9、x）ax2+bx+3f（x）a（x）2bx+3，得b0，所以a+b1，故选：B【点评】考查偶函数的性质，定义域关于原点对称，f（x）f（x）；6（5分）下列说法正确的是（）A函数f（x）的图象与直线x1最多有一个交点B分段函数是由两个或几个函数组成的C函数的单调减区间是（，0）（0，+）D若MN0，则loga（MN）logaM+logaN（a0且a1）【分析】由函数的定义可知，任意的x只有一个y与之对应，可判断A；分段函数是由1个函数组成的，可判断B；函数的单调减区间是（，0），（0，+），可判断C；只有当M0，N0时，loga（MN）logaM+logaN才成立，可判断D【解答】解：由函数的
10、定义可知，任意的x只有一个y与之对应，因此当x1在函数的定义域内时，函数f（x）的图象与直线x1有一个交点，而当x1不在函数的定义域内时，函数f（x）图象与直线x1没有交点，故A正确；分段函数是由1个函数组成的，故B错误；函数的单调减区间是（，0），（0，+），故C错误；只有当M0，N0时，loga（MN）logaM+logaN才成立，故D错误故选：A【点评】本题主要考查了函数的定义，分段函数的定义及反比例函数的单调区间，对数运算性质等知识的综合应用，属于基础试题7（5分）设a50.4，blog0.30.4，clog0.40.2，则a，b，c的大小关系是（）AcabBbacCabcDacb【分
11、析】利用指数函数和对数函数的单调性，把已知数与0，1比较即可得出a，b，c的大小关系【解答】解：50.4501，0log0.31log0.30.4log0.30.31，log40.2log410，abc故选：C【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于基础题8（5分）已知集合Ay|y2x，xR，Bx|4x18，则AB（）ABCD【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：，故选：D【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，以及指数函数的值域，指数函数的单调性，交集的运算9（5分）函数f（x）ln（x2+x）的增区间为（）AB（0，+）C（，1）
12、D0，+）【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递增区间【解答】解：要使函数有意义，则x2+x0，解得x（，1）（0，+），设tx2+x，则函数在（，1）上单调递减，在（0，+）上单调递增因为函数lnt在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递增区间是（0，+）故选：B【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”10（5分）函数y的图象大致是（）ABCD【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数
13、的单调性即可判断【解答】解：当x0时，yxlnx，y1+lnx，即0x时，函数y单调递减，当x，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题11（5分）已知函数是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A（0，1）BCD【分析】由题意分段函数是减函数，列出不等式组，由此解得a的范围【解答】解：由于函数是定义在R上的减函数，则，解得a，故选：C【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，得到不等式组，是解题的关键，属于中档题12（5分）设函数在区间12，12上的最大值为M，最小值为N，则（M+N1）2019的值为（
14、）A1B1C22019D0【分析】+1，令g（x），则g（x）g（x），进而根据奇函数的性质求解；【解答】解：+1，令g（x），则g（x）g（x），根据奇函数的性质，g（12）+g（12）0，M+N11+111，（M+N1）2019120191，故选：A【点评】考查复杂函数的转化处理，奇函数性质，整体思想；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）某班级共有50名同学，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的10名，则体育和文艺都不爱好的有11名【分析】设体育和文艺都不爱好的有x名，计算出各个部分的人数，使各部分人数之和等于总人数，列出方程求解即可【解答】
15、解：设体育和文艺都不爱好的有x名，因爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的10名，只爱好体育的（2510）名，只爱好文艺的（2410）名，由体育和文艺都不爱好的人数+只爱好体育的人数+只爱好文艺的人数+体育和文艺都爱好的人数班级总人数则x+（2510）+（2410）+1050，解得x11故答案为：11【点评】本题考查了集合交并补的相关概念，属于基础题14（5分）函数的定义域是（1，0）（0，3【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可【解答】解：要使原函数有意义，则，解得1x3且x0，原函数的定义域为（1，0）（0，3故答案为：（1，0）（0，3【点评】考查
16、函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域的求法15（5分）已知函数f（x）（m2+m1）xm+3是幂函数，且该函数是偶函数，则m的值是1【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合偶函数的定义取舍即可【解答】解：由题意得：m2+m11，解得：m1或m2，m1时，f（x）x4是偶函数，符合题意，m2时，f（x）x1是奇函数，不合题意，故m1，故答案为：1【点评】本题考查了幂函数的定义以及函数的奇偶性，是一道基础题16（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）x2x，若不等式f（x）+x2logax（a0且a1）对任意的恒成立，则实数a的取值范围是【分析】先求出f（x）在x0的解析式，不等成
17、恒成立转化为logaloga，进而求解；【解答】解：函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）x2x，x0时，x0，f（x）x2+xf（x），f（x）x2x，不等式f（x）+x2logax（a0且a1）对任意的恒成立，由指数函数的定义域知x0，x2x+x2logax，即x2logax2，（）2loga（）2，logaloga，a1时，无解；0a1时，解得a1，故答案为：，1）【点评】考查奇函数的性质，定义，不等式恒成立的转化，分类讨论思想，得出logaloga，是解决本题的突破点；三、解答题：本大题共70分17（10分）计算：（1）（2）lg125+lg2lg500+（lg2）2【分析】（1）进
18、行指数和根式的运算即可；（2）利用对数的运算性质运算即可【解答】解：（1）原式3+1；（2）原式3lg5+lg2（lg500+lg2）3lg5+3lg23【点评】本题考查分数指数幂、根式和对数式的运算，考查的计算能力，属于基础题18（12分）已知集合Ax|a6x2a，Bx|x24x120，全集为R（1）设a2，求A（RB）（2）若ABB，求实数a的取值范围【分析】（1）可以求出Bx|2x6，a2时求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可；（2）由ABB可得出BA，从而得出，解出a的范围即可【解答】解：（1）a2，Ax|4x4，又Bx|2x6，RBx|x2或x6，A（RB）x|4x2；（2）若A
19、BB，则BA，解得3a4，a的取值范围是3，4【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算，交集、子集的定义19（12分）已知函数f（x）a+m（a，m为常数，a0且a1）在区间上有最大值3，最小值，求a，m的值【分析】设，可得t1，0，继而讨论a与1的关系，进而求解；【解答】解：设，t1，0，当a1时，有当0a1时，有所以，【点评】考查二次函数在特定区间上的最值，指数函数的增减，复合函数的处理；20（12分）已知函数为奇函数，且f（1）10（1）求函数f（x）的解析式（2）判断函数f（x）在（3，+）的单调性并证明【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，分析
20、可得n的值，又由，解可得m的值，即可得函数的解析式；（2）根据题意，任取x1，x2（3，+），且x1x2，由作差法分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数为奇函数，其定义域为（，0）（0，+），则有，分析可得：n0，又，则m1；故；（2）f（x）在（3，+）上单调递增，证明如下：任取x1，x2（3，+），且x1x2，则，又由x1，x2（3，+），且x1x2，则x1x20，x1x290，x1x20，故f（x1）f（x2）0，则f（x1）f（x2）所以f（x）在（3，+）上单调递增【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及单调性的证明，关键是求出函数的解析式，属于基础题21（12分）已知函数f（x
21、）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）x2+2x现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：（1）写出函数f（x），xR的增区间并将图象补充完整；（2）写出函数f（x），xR的解析式；（3）若函数g（x）f（x）4ax+2，x1，3，求函数g（x）的最小值【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；（2）令x0，则x0，根据条件可得f（x）x22x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）f（x）x22x，从而可得函数f（x）的解析式；（3）先求出抛物线对称轴x2a1，然后分当2a+11时，当12a+12时，
22、当2a+12时三种情况，根据二次函数的增减性解答【解答】解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），则f（x）的单调递增区间为（1，0），（1，+）；（5分）（2）令x0，则x0，f（x）x22x函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）f（x）x22x解析式为f（x）（10分）（3）g（x）x22x4ax+2，对称轴为x2a+1，当2a+11时，g（1）14a为最小；当12a+13时，g（2a+1）4a24a+1为最小；当2a+13时，g（3）512a为最小；g（x）min（16分）【点评】本题考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生
23、分析解决问题的能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）lg（1x）lg（1+x）（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明（2）证明：（3）证明：，其中nN*【分析】（1）f（x）是一个奇函数，利用奇函数的定义证明即可（2）利用已知条件转化求解即可（3）化简，利用裂项消项法求解即可【解答】解：（1）f（x）是一个奇函数，证明如下：f（x）的定义域为（1，1），对于定义域内的每一个x，都有f（x）lg（1+x）lg（1x）f（x），所以，f（x）是奇函数（2）证明：f（a）+f（b）lg（1a）lg（1+a）+lg（1b）lg（1+b）lg，又，（3）证明：，nN*【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的奇偶性，以及函数求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题