1、2018-2019学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）已知数列an满足a11，（n1，nN），则a3（）A2BCD2（3分）已知，则下列结论正确的是（）AabBabCabD不能确定3（3分）已知集合Ax|（x3）（x+1）0，Bx|2x+10，则AB（）A（3，）B（3，）C（，3）D（，3）4（3分）在ABC中，若BC2，AC5，C30，则AB（）AB2CD5（3分）已知等差数列an的前n项和Sn，若a11，a4+a618，则S5（）A25B39C45D546（3分）若a，b，cR，则下列结论正确的是（）A若ab，则ac2bc2
2、B若ab，则C若ab，cd，则acbdD若ab，则acbc7（3分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为a2t，则t（）ABCD8（3分）设等比数列an前n项和为Sn，且S118，S224，则S4等于（）ABCD9（3分）三角形的一个角为60，夹这个角的两边之比为8：5，则这个三角形的最大角的正弦值为（）ABCD10（3分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A当k5时，ABC是直角三角形B当k3时，ABC是锐角三角形C当k2时，ABC是钝角三角形D当k1时，ABC是钝角三角形11（3分）已知正数a，b满足aba+
3、b+3，则ab的最小值是（）A9B10C11D1212（3分）已知数列an满足a11，an+1an2n（nN*），Sn是数列an的前n项和，则（）Aa201922019Ba201921010CS2019210103DS2019210113二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）若数列的前4项分别是，则它的一个通项公式是 14（3分）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b2asinB，则角A等于 15（3分）莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较
4、大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为 16（3分）已知ABC中，BC2，AB2AC，则ABC面积的最大值为 三、解答题（本大题共7小题，共52分）17（10分）如图，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45（1）求BAC的度数；（2）求AD的长度18（10分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S1，S3，S2成等差数列，（1）求数列an的公比q；（2）若a1a36，求数列an的通项公式19（10分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员在A处先看到山顶C的俯角为183
5、0'，经过150s后又在B处看到山顶C的俯角为81（1）求飞机在B处与山顶C的距离（精确到1m）；（2）求山顶的海拔高度（精确到1m）参考数据：sin18.50.32，cos18.50.95，sin62.50.89，cos62.50.46，sin810.99，cos810.1620（10分）已知数列an满足an+12+an，数列bn满足2bn+1bn0，且a1b11，nN（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Sn21已知数列an满足，数列bn满足Sn+bn2，其中Sn为bn的前n项和，且a1b11，nN（1）求数列an和bn的通项公式（2）求数列anbn的前n
6、项和Sn22（12分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，点A，B分别在半径OP，OQ上，且OACB是平行四边形，记COP，四边形OACB的面积为S，问当取何值时，S最大？S的最大值是多少？23如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形ABCD的两个顶点A，B及CD中点M处为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与A，B等距的点O处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，MO，记铺设管道总长为y千米（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设BAO，将y表示成的函数；（ii）设MO2x，将y表示成x的函数；（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使
7、铺设管道总长最短2018-2019学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）已知数列an满足a11，（n1，nN），则a3（）A2BCD【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解数列的a3即可【解答】解：数列an满足a11，（n1，nN），所以a21+1+12，a31+1+故选：B【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查2（3分）已知，则下列结论正确的是（）AabBabCabD不能确定【分析】根据题意，求出a2与b2的值，比较易得b2a2，变形可得答案【解答】解：根据题意，a2（+）29+2，b2（）29+
8、2，易得b2a2，则有ab；故选：C【点评】本题考查不等式的大小比较，属于基础题3（3分）已知集合Ax|（x3）（x+1）0，Bx|2x+10，则AB（）A（3，）B（3，）C（，3）D（，3）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：；故选：D【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算4（3分）在ABC中，若BC2，AC5，C30，则AB（）AB2CD【分析】由已知利用余弦定理即可解得AB的值【解答】解：BC2，AC5，C30，由余弦定理可得：AB2AC2+BC22ACBCcosC52+（2）227解得：AB故选：A【点评】本题主要考查了
9、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题5（3分）已知等差数列an的前n项和Sn，若a11，a4+a618，则S5（）A25B39C45D54【分析】可设等差数列an的公差为d，从而根据a11，a4+a618即可求出d2，这样根据等差数列的前n项和公式即可求出S525【解答】解：设等差数列an的公差为d，则由a11，a4+a618得：1+3d+1+5d18；d2；故选：A【点评】考查等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式6（3分）若a，b，cR，则下列结论正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab，则C若ab，cd，则acbdD若ab，则acbc【分析】根据不等式的基本性质逐一判断可得答案
10、【解答】解：A当c0时，不成立，故A不正确；B取a1，b1，则结论不成立，故B不正确；C当c0时，结论不成立，故C不正确；D若ab，则acbc，故D正确故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题7（3分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为a2t，则t（）ABCD【分析】根据：ABC的面积为a2t，可得，化简后利用正弦定理将“边化为角“即可【解答】解：ABC的面积为a2t，t，故选：C【点评】本题考查了正弦定理的应用和三角形的面积公式，属基础题8（3分）设等比数列an前n项和为Sn，且S118，S224，则S4等于（）ABCD【分析】由S118，S224，联
11、立方程组，求出等比数列的首项和公比，然后求s4【解答】解：若q1，则S22S1，显然24218不成立，所以q1由S118，S224，得a118，a1+a224，所以a26，所以公比所以或者利用，所以故选：C【点评】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，要求熟练掌握，特别要注意对公比是否等于1要进行讨论9（3分）三角形的一个角为60，夹这个角的两边之比为8：5，则这个三角形的最大角的正弦值为（）ABCD【分析】由余弦定理，可得第三边的长度，再由大角对大边可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值【解答】解：三角形的一个角为60，夹这个角的两边之比为8：5，设夹这个角的两边分别为8k和5k（
12、k0），则由余弦定理，可得第三边的长度为7k，三角形的最大边为8k，对应的角最大，记为，则由正弦定理可得sin，故选：B【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属基础题10（3分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A当k5时，ABC是直角三角形B当k3时，ABC是锐角三角形C当k2时，ABC是钝角三角形D当k1时，ABC是钝角三角形【分析】由正弦定理化简已知可得a：b：ck：3：4，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解【解答】解：（k为非零实数），可得：sinA：sinB：si
13、nCk：3：4，由正弦定理，可得：a：b：ck：3：4，对于A，k5时，可得：a：b：c5：3：4，可得a2b2+c2，即A为直角，可得ABC是直角三角形，故正确；对于B，k3时，可得：a：b：c3：3：4，可得C为最大角，由余弦定理可得cosC0，可得ABC是锐角三角形，故正确；对于C，k2时，可得：a：b：c2：3：4，可得C为最大角，由余弦定理可得cosC0，可得ABC是钝角三角形，故正确；对于D，k1时，可得：a：b：c1：3：4，可得a+bc，这样的三角形不存在，故错误故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题11（3
14、分）已知正数a，b满足aba+b+3，则ab的最小值是（）A9B10C11D12【分析】利用基本不等式可得aba+b+3，然后解出ab即可【解答】解：正数a，b满足aba+b+3，aba+b+3，ab9，当且仅当ab3时取等号，ab的最小值为9故选：A【点评】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属基础题12（3分）已知数列an满足a11，an+1an2n（nN*），Sn是数列an的前n项和，则（）Aa201922019Ba201921010CS2019210103DS2019210113【分析】由已知递推关系式可以推出数列的特征，即数列a2n和a2n1均是等比数列，利用等比数列性
15、质求解即可【解答】解：由已知可得 a22，又由得2（nN*），所以数列a2n和a2n1均是公比为2的等比数列，首项分别为2和1，由等比数列知识可求得a201921009，故选：C【点评】本题考查了递推关系式，及等比数列的相关知识，属于容易题目二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）若数列的前4项分别是，则它的一个通项公式是an【分析】根据等比数列的定义即可判断出该数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出该数列的一个通项公式【解答】解：；该数列是以为首项，为公比的等比数列；该数列的通项公式是：故答案为：an【点评】考查等比数列的定义，以及等比数列的通
16、项公式14（3分）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b2asinB，则角A等于30【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0得出sinA的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：利用正弦定理化简b2asinB得：sinB2sinAsinB，sinB0，sinA，A为锐角，A30故答案为：30【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键15（3分）莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的
17、两份之和，则最小一份的量为【分析】由题意设等差数列an的公差是d0，首项是a1，根据等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出公差d和首项a1，即可得到答案【解答】解：设等差数列an的公差是d0，首项是a1，由题意得，则，解得，所以a1，所以最小的一份为，故答案为：【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及方程思想，是数列在实际生活中的应用，属于基础题16（3分）已知ABC中，BC2，AB2AC，则ABC面积的最大值为【分析】设ACx，则AB2x，根据面积公式得SABCx，由余弦定理求得cosC代入化简SABC，由三角形三边关系求得x2，由二次函数的性质求得SABC
18、取得最大值【解答】解：设ACx，则AB2x，根据面积公式得SABCACBCsinCxsinCx由余弦定理可得cosC，可得：SABCxx由三角形三边关系有：x+2x2，且x+22x，解得：x2，故当 x时，SABC取得最大值，故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共52分）17（10分）如图，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45（1）求BAC的度数；（2）求AD的长度【分析】（1）ABC中直接由余弦定理可得cosBAC，然后得到BAC的度数；（2）由（
19、1）知ACB30，在ADC中，由正弦定理可直接得到AD的值【解答】解：（1）在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，有cosBAC，在ABC中，BAC120；（2）由（1）知ACB30，在ADC中，由正弦定理，有，【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属基础题18（10分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S1，S3，S2成等差数列，（1）求数列an的公比q；（2）若a1a36，求数列an的通项公式【分析】（1）由等差数列的中项性质，以及等比数列的求和公式，解方程可得q；（2）由等比数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式【解答】解：（1）等比数列an的
20、前n项和为Sn，且S1，S3，S2成等差数列，可得2S3S1+S2，显然q1不成立，即有q1，则2a1+，化为2q3q+q2，解得q；（2）a1a36，即a1a16，可得a18，数列an的通项公式为an8（）n1（1）n1（）n4【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题19（10分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员在A处先看到山顶C的俯角为1830'，经过150s后又在B处看到山顶C的俯角为81（1）求飞机在B处与山顶C的距离（精确到1m）；（2）求山顶的海拔高度（精
21、确到1m）参考数据：sin18.50.32，cos18.50.95，sin62.50.89，cos62.50.46，sin810.99，cos810.16【分析】（1）先求出飞机在150秒内飞行的距离AB，然后由正弦定理可得BC；（2）飞机，山顶的海拔的差为BCsin81，则山顶的海拔高度为20250BCsin81【解答】解：（1）飞机在150秒内飞行的距离为AB10001000，在ABC中，由正弦定理，有BC14981m；（2）飞机，山顶的海拔的差为BCsin8114831m，20250148315419m即山顶的海拔高度为5419m【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查了计算能力，属中档题
22、20（10分）已知数列an满足an+12+an，数列bn满足2bn+1bn0，且a1b11，nN（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Sn【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义、可得所求通项公式；（2）求得anbn（2n1）（）n1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和【解答】解：（1）an+12+an，即an+1an2，a11，可得an为首项为1，公差为2的等差数列，即an2n1；2bn+1bn0，即有bn+1bn，可得bn为首项为1，公比为的等比数列，即bn（）n1；（2）anbn（2n1）（）n1，前n项和Sn11+3+5+（2n1）（）n
23、1，Sn1+3+5+（2n1）（）n，两式相减可得Sn1+2（+（）n1）（2n1）（）n1+2（2n1）（）n，化简可得Sn6（2n+3）（）n1【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题21已知数列an满足，数列bn满足Sn+bn2，其中Sn为bn的前n项和，且a1b11，nN（1）求数列an和bn的通项公式（2）求数列anbn的前n项和Sn【分析】（1）由题意可得an+1an2，由等差数列的通项公式可得an；由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得bn；（2）anbn（2n1）（）n1，运用数列的错位相减
24、法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和【解答】解：（1），即为an+1an2，可得数列an以1为首项，2为公差的等差数列，可得an2n1；Sn+bn2，当n2时，Sn1+bn12，两式相减可得2bnbn1，即bnbn1，数列bn以1为首项，为公比的等比数列，可得bn（）n1；（2）anbn（2n1）（）n1，前n项和Sn11+3+5+（2n1）（）n1，Sn1+3+5+（2n1）（）n，两式相减可得Sn1+2（+（）n1）（2n1）（）n1+2（2n1）（）n，化简可得Sn6（2n+3）（）n1【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运
25、算能力，属于中档题22（12分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，点A，B分别在半径OP，OQ上，且OACB是平行四边形，记COP，四边形OACB的面积为S，问当取何值时，S最大？S的最大值是多少？【分析】设OAx，OBy，在OAC中，由余弦定理，基本不等式可得xy，根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：设OAx，OBy，在OAC中，由余弦定理可得：x2+y2+xy1，由基本不等式可得：1x2+y2+xy3xy，可得：xy，由于Sxysinxy，当xy时取等号，此时，所以当时，S最大，最大值为【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式的综合应用
26、，考查了计算能力和转化思想，属于基础题23如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形ABCD的两个顶点A，B及CD中点M处为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与A，B等距的点O处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，MO，记铺设管道总长为y千米（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设BAO，将y表示成的函数；（ii）设MO2x，将y表示成x的函数；（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短【分析】（1）（i）设AB的中点为N，则AN1，ONtan，OA，MO2tan，由此可得y关于的函数；（ii）由题意MO2x，则ONx，AO，由此可得y关于x的函数；（2）设m，n（m，n0），则mn1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：（1）（i）设AB的中点为N，则AN1，ONtan，OA，MO2tan，（00，其中tan02）（ii）MO2x，ONx，AOy（0x2）；（2）设m，n（m，n0），则mn1y当m3n，即x时，y取最小值污水厂设在与直线AB距离处时，铺设管道总长最短，最短差的为2+千米【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，是中档题