1、19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 下册,正比例函数的概念及解析式,第一课时,返回,2006年7月12日，我国著名运动员刘翔在瑞士洛桑的田经大奖赛110米栏的决赛中，以12.88秒的成绩打破了尘封13年的世界纪录,为我们中华民族争得了荣誉。在这次决赛中刘翔平均每秒约跑8.54米.,假定刘翔在这次110米栏决赛中奔跑速度是8.54米/秒，那么他奔跑的路程y（单位：米）与奔跑时间x（单位：秒）之间有什么关系？,y= 8.54x (0x 12.88),1. 理解正比例函数的概念.,2. 会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.,
2、素养目标,写出下列问题中的函数关系式,(2)铁的密度为7.8g/cm3 ,铁块的质量m（单位：g）随它的体积v（单位：cm3)大小变化而变化；,(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度 h随这些练习本的本数n的变化而变化；,(4)冷冻一个0的物体，使它每分下降2，物体的温度T(单位：）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化.,(2)m=7.8v,(3)h=0.5n,(4)T=-2t,(1)圆的周长l 随半径r的大小变化而变化；,（1）l=2r,正比例函数的概念,这些函数有什么共同点？,这些函数都是常数与自变量的乘积的形式.,（2）m = 7.8 v,（3）h = 0.5 n
3、,（4）T = -2 t,（1）l = 2 r,y,K(常数),x,=,一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数,y = k x (k0的常数),比例系数,自变量,正比例函数一般形式,注: 正比例函数y=kx(k0) 的结构特征 k0 x的次数是1,1.下列函数中哪些是正比例函数？,（2）y = x+2,（1）y =2x,（5）y=x2+1,（3）,（4）,（6）,是,是,不是,不是,不是,不是,例1 已知y(k1)xk1是正比例函数，求k的值.,解：根据题意得：k10且k10， 解得：k1.,提示：函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k 0）的形式.
4、,利用正比例函数的概念求字母的值,（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_. （2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=_. （3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_.,k1,2,4,2.求出下列各题中字母的值.,解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx，,把 x =-4, y =2 代入上式，得,2 = -4k，,（2）当 x=6 时, y = -3.,例2 若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2. （1）求正比例函数的解析式； （2）求当x=6时，函数y的值.,设,代,求,写,解得 ，,所求的正比例函数解析式是 ；,利用待
5、定系数法求正比例函数的解析式,3.若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6. （1）求出y与x的关系式； （2）当x=9时，求出对应的函数值y.,解：（1）设该正比例函数解析式为y=kx. 把x=2,y=-6代入函数解析式得：-6=2k 解得k=-3 所以，y与x的关系式，即是正比例函数：y=-3x,（2）把x=9代入解析式得：y=-39=-27,2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题： （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？ （2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数
6、量关系？ （3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？,利用正比例函数解决实际问题,(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？ 解：13183004.4（小时）,（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？,解： y=300t（0t4.4）,（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？ 解：y=3002.5=750（千米）, 这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站.,例3 2016年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）
7、套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它. (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ (2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？ (3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？,利用正比例函数解答实际问题,解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为 25600128=200（千米） 答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.,(2)假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为 y =200x (0x128),(3)这只
8、燕鸥飞行一个半月的行程，即 ：x=45， 所以y=20045=9000（千米） 答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米.,4.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数 （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. 解：y=4x 是正比例函数 （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元 解：y=12x 是正比例函数 （3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3. 解：y=3x 是正比例函数,（2019梧州）下列函数中，正比例函数是（ ） Ay8x B Cy8x2 Dy8x4,巩固练习,A,1.下列各函数是正比例函数
9、的是（ ） A. B. C. D. 2.若 是正比例函数，则m=_. 3.已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=6，则与之间的函数关系为 .,C,1,y=-6x,4.下列说法正确的打“”，错误的打“”. （1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ） （3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ） （4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（ ）,注意：（1）中k可能为0；,（4）中2+k20，故y是x的正比例函数.,(1)若 是正比例函数，则m= ；,(2)若 是正比例函数，则m= ；,-2,-1,m-20， |m|-1=1，,
10、 m=-2.,m-10， m2-1=0，, m=-1.,5.求下列字母的值,已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L所使用的汽油为5元/ L （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数； （2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？,即 .,解：,（1）y=515x100，,（2）当x=220,时，,答：该汽车行驶220 km所需油费是165元,.,y是x的正比例函数.,已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.,解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，,x=4时，y=7， 7-3=4
11、k，解得k=1.,y-3=x，即y=x+3.,正比例函数的概念,形式：y=kx（k0）,求正比例函数的解析式,利用正比例函数解决简单的实际问题,1.设,2.代,3.求,4.写,正比例函数的图像和性质,第二课时,返回,确定函数自变量的取值范围. 列表 画图象,用描点法画函数图象有哪几个步骤？,2.能根据正比例函数的图象和表达式 y =kx（k0）理解k0和k0时，函数的图象特征与增减性.,1. 会画正比例函数的图象 .,素养目标,3. 掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.,画出下列正比例函数的图象： （1）y=2x， ；（2）y=-1.5x，y=-4x.,x,y,1,0,0,-1,2
12、,-2,2,4,-2,-4,解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数. 列表如下：,正比例函数的图象,y=2x,描点；,连线.,同样可以画出 函数 的图象.,看图发现：这两个图象都是经过原点的 而且都经过第 象限；,一、三,直线,解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：,y=-4x,y=-1.5x,看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 象限的直线.,二、四,提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx,1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1） y=-3x； （2）,两点 作图法,提示：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，
13、k)，连线即可.,O,0,-3,0,y=-3x,函数y=-3x， 的图象如下：,解：列表如下：,（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围 是_.,例2 已知正比例函数y=(k-3)x.,k3,解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k-30，解得k3.,利用正比例函数的定义求字母的值,（2）若函数图象经过点（2，4），则k_.,解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k-3)2，解得k=5.,=5,（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_.,2.已知正比例函数y=(k+5)x.,k-5,解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+50，解得k-5.,（2）若函数图象
14、经过点（3，-9），则k_.,解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)3， 解得k=-8.,=-8,在函数y=x , y=3x, 和 y=-4x 中，随着x的增大,y的值分别如何变化?,分析：对于函数y=x,当x=-1时，y= ;当x=1时，y= ;当x=2时，y= ;不难发现y的值随x的增大而 .,-1,1,2,增大,分析：对于函数y=-4x,当x=-1时，y= ;当x=1时，y= ;当x=2时，y= ;不难发现y的值随x的增大而 .,4,-4,-8,减小,正比例函数的性质,数值分析,我们还可以借助函数图象分析此问题.,观察图象可以发现：直线y=x,y=3x向右逐渐 ,
15、即y的值随x的增大而增大; 直线 ,y=-4x向右逐渐 ，即y的值随x的增大而减小.,上升,下降,图像分析,在正比例函数y=kx中： 当k0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k0时，y的值随着x值的增大而减小.,例3 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.,解：正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, 4=mm，解得m=2. 又y的值随着x值的增大而减小， m0，故m=2,利用正比例函数的性质求字母的值,3.已知正比例函数y=kx的图象经过点（k，25），且y的值随着x值的增大而增大，求k的值.,解：正比例函数y=kx的图象经过点（k，25）
16、, 25=kk，解得k=5. 又y的值随着x值的增大而增大， k0，故k=5,（2018陕西）如图，在矩形AOBC中，A（2，0），B（0，1）若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ） A B C2 D2,巩固练习,A,1.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k0）的图象的大致位置只可能是（ ）,x,y,O,x,y,O,A,B,C,D,A,A,B,2. 正比例函数y=（m1）x的图象经过一、三象限，,A. m=1,B. m1,C. m1,D. m1,3. 正比例函数y=(3-k) x,如果随着x的增大y反而减 小，则k的取值范围是 _.,k3,则m的取值范围是（ ）,(0,
17、)与点(1, ),y随x的增大而 .,(0, )与点(1, ),y随x的增大而 .,5.函数 的图象在第 象限内,经过点,4.函数y=3x的图象在第 象限内,经过点,二、四,0,减小,3,0,一、三,增大,6.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m ，y 随x 的增大而减小； （3）当m ，函数图象经过点（2，10）.,-2,-2,=0.5,1.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1）， （5，y2），则y1 y2.,2.已知正比例函数y=kx(k0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则y1 y2.,如图分别是函数y=k1 x，y=k2 x，y=k3 x，y=k4 x的图象. （1）k1 k2，k3 k4 (填“”或“”或“=”)； （2）用不等号将k1， k2， k3， k4及0依次连接起来,解： k1k2 0k3 k4,正比例函数的图象和性质,图象：经过原点的直线. 当k0时，经过第一、三象限；当k0时，经过第二、四象限.,性质：当k0时，y的值随x值的增大而增大； 当k0时，y的值随x值的增大而减小.,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,