1、16.2二次根式的乘除,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 下册,二次根式的乘法,第一课时,返回,苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm，宽为 cm，则它的面积是多少呢？,1. 掌握二次根式乘法法则.,2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.,素养目标,(1) = _=_;,=_;,计算下列各式:,2,3,6,4,5,20,5,6,30,观察两者有什么关系？,二次根式的乘法,(2) = _=_;,(3) = _=_;,=_;,=_.,观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：,(1),(2),(3),你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
2、,猜测：,不成立！,【思考】,成立吗？,因此被开方数a，b需要满足什么条件？,a，b是非负数，即a0,b0,语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.,二次根式的乘法法则是:,二次根式相乘，_不变，_相乘.,根指数,被开方数,注意：a,b都必须是非负数.,例1 计算:,解:,简单的二次根式的乘法运算,（1） （2）,(1),(2),【想一想】下边的式子如何运算？,解:,总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ ）,A. B. C. D.,1.计算 的结果是 ( ),A. B.4 C. D.2,C,2.下面计算结果正确
3、的是( ),B,3.计算： _.,20,【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？,试回顾如何计算4a25a4= .,20a6,例2 计算:,解:,因数不是1二次根式的乘法运算,总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项 式的法则计算，即,（1） （2）,(1),(2),归纳总结,二次根式的乘法法则的推广：,多个二次根式相乘时此法则也适用，即,当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即,4.计算：,解：,=2018=360,(1) (2),(2),(1),解：(1)方法一： ， ，,方法
4、二： ， ，,二次根式的大小比较,例3 比较大小:（1） 与, ，, ，,即 .,又2027，,又2027，,即 .,解：(2) ， ， 又5254， ， ,即,两个负数比较大小，绝对值大的反而小,（2） 与,比较两个二次根式大小的方法：,(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大,(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大,(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较,5.比较下列各组数的大小. (1) 和 ; (2) 和 ;,（ ）2 （ ）2 ,又9899
5、,即 .,又 , .,我们可以运用它来进行二次根式的化简.,语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.,二次根式的乘法法则的逆用,例4 化简：,（1） ；（2） ,(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.,利用二次根式的乘法法则的逆用计算,=,解：（1）,= 4 9,=36,（2）,=,=,=,6.化简:,提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来。,（1）,（2）,（3）,解:,（1）,（2）,（3）,例5 计算：,（1） ；（2） ；（3） ,利用二次根式的乘法法则及逆用计算,解：（1）,（2）
6、,（3）,化简二次根式的步骤：,1.把被开方数分解因式(或因数) ；,2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因 数)的算术平方根的积；,3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .,7.计算：（1）,解：原式=,=30,（2）,解：原式=,巩固练习,B,（2019株洲） （ ） A B4 C D,1.下面计算结果正确的是 ( ),A. B. C. D.,D,2.若 ，则（ ） Ax6 Bx0 C0x6 Dx为一切实数,A,4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“” “” 或“=”）：,3. 计算：,（1） =_,（2） =_,（3
7、） =_,（1） _,（2） _,5. 计算：,解：,（1）,（2）,（1）,=1213,=156,=a2,（2）,6.计算：,（1）,（2）,（2）,1.下面是意大利艺术家列奥纳多达芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积.,解：它的面积为,2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.,(1)已知 , ，求S；,解： S = ab =,（2）已知 , ，求S.,=,（1）,=240,=,=,=,=,（1） ；（2） ,1. 化简：,解：（1）,（2）,2.已知 试着用a, b表示 .,解：,又,二次根式乘法,法则,性质,拓展法则,二次根式的除法和最简二次根式,第二课时,返回,站在
8、水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .,解：,问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？,问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？,问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？,解：,解：,【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？,2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.,1. 掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.,素养目标,3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化为最
9、简二次根式.,(1) _=_;,= _;,计算下列各式:,(2) _=_;,(3) _=_;,= _;,= _.,2,3,4,5,6,7,观察两者有什么关系？,二次根式的除法,观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：,(1),(2),(3),猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？,特殊,一般,在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？,a,b同号就可以啦,二次根式的除法法则:,文字叙述:,算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.,当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得,例1 计算：,解:,利用二
10、次根式的除法法则计算根号外因数是 1的二次根式,提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法 再进行运算.,（1）,（2）,（1）,（2）,1.计算：,解：,（1）,（2）,（3）,（1）,（2）,（3）,解:,提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成 假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.,利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是 1的二次根式,例2 计算:,（1）,（2）,（1）,（2）,2.计算，看谁算的既对又快.,（1）,（2）,（3）,（4）,我们可以运用它来进行二次根式的化简.,语言表述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.,我们知道
11、，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.,类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到,二次根式的商的算术平方根的性质:,商的算术平方根的性质,解:,补充解法：,商的算术平方根的性质的应用,（1）,（2）,解：,提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.,（3）,（4）,（5）,（3）,（4）,（5）,C,3.能使等式 成立的条件是 ( ) A. x0 B. 3x0 C. x3 D. x3或x0 4.化简：,（1） =_,（2） =_,（3） =_,（4） =_,解：（1）,（2）,最简二次根式,问题2 观察上面各小题计算的最后结果并思考： （1）你觉
12、得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？ （2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？,归纳总结,最简二次根式应满足的条件： (1)被开方数不含分母或分母中不含_； (2)被开方数中不含_的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.,二次根式,开得尽方,解:,分母有理化,总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使 分母不含根号.,（2）,（3）,（1）,化成最简二次根式的一般方法,(1)将被开方数中能开得尽方的
13、因数或者因式进行开方, 如 ;,(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 ;,(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如 .,5.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简,解：只有(3)是最简二次根式；,（1） （2） （3） （4） （5）,(1),(4),(2),(5),设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.,解:,二次根式的应用,6. 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使
14、人当场死亡据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？,解:由题意得,1.（2018绵阳）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A B C D,巩固练习,B,2.（2019河池）下列式子中，为最简二次根式的 是（ ） A B C D,B,1.化简 的结果是（ ） A9 B3 C D,B,2.下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D.,C,3.能使等式 成立的x的取值范围是（ ） A.x2 B.x0 C.x2 D.x2,C,4.化简：,解：,（1）,（3）,（2）,（1）,（2）,（3）
15、,在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒试求电流I,解：当W=2400，R=100，t=15时，,（安培）,自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内试问：刘敏说得对吗？,按 计算，则a0，a-30或a0，a-30,解得a3或a0；,解：刘敏说得不对，结果不一样理由如下：,而按 计算，则a0，a-30,解得a3,二次根式除法,法则,性质,拓展法则,相关概念,分母有理化,最简二次根式,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,