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本文(人教版八年级数学下册第17章17.2勾股定理的逆定理课件(2课时共53张))为本站会员(牛***)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

人教版八年级数学下册第17章17.2勾股定理的逆定理课件(2课时共53张)

1、17.2勾股定理的逆定理,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 下册,勾股定理的逆定理,第一课时,返回,按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?,古埃及人曾用下面的方法得到直角:,用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结,4个结,5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.,1. 掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.,2. 能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.,素养目标,据说,古埃及人曾用如图所示的方法画直角.,勾股定理的逆定理,三边分别为3,4,5, 满足关系:32+42=52, 则

2、该三角形是直角三角形,问题1 用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?,是,做一做:下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方,分别以这些数为边长画出三角形(单位:cm). 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点?, 5,12,13满足52+122=132, 7,24,25满足72+242=252, 8,15,17满足82+152=172.,问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗?,32+42=52,满足.,a2+b2=c2,问题

3、4 据此你有什么猜想呢?,由上面几个例子,我们猜想: 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,已知:如图,在ABC中,AB=c,BC=a,CA=b, 并且,A,B,b,c,a,b,证明:作A1B1C1,在ABC和A1B1C 1中,,C,a,求证:C=90,使C1=90,根据勾股定理,则有,B,A,B1C1=a,C1A1=b,A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2,a2+b2=c2,A1B1 =c,,AB=A1B1,符号语言: 在ABC中, 若a2 + b2 = c2 则ABC是直角三角形,如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 +

4、b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理:,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三边长,且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形 ,最长边所对应的角为直角.,例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?,(1) a=15 , b=8 ,c=17;,解:(1)152+82=289,172=289,,(2) a=13 ,b=14 ,c=15.,(2)132+142=365,152=225,,总结:根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长

5、的平方.,利用勾股定理的逆定理判断直角三角形,152+82=172,,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形,且C是直角.,132+142152,,不符合勾股定理的逆定理,这个三角形不是直角三角形.,1.下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是( ) A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 4,5,6 D. 2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( ) A.三个内角比为1:2:1 B. 三边之比为1:2: C.三边之比为 D. 三个内角比为1:2:3,D,C,D,C,例2 若ABC的三边a,b,c,且a+b=4,ab=1,c= , 试说明ABC是直角三角形.,解:a+b=4,

6、ab=1, a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又c2=14, a2+b2=c2, ABC是直角三角形.,勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形,3.若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断ABC的形状.,解: a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, a26a+9+b28b+16+c210c+25=0. 即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5, 即 a2+b2=c2. ABC是直角三角形.,勾股数,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个

7、正整数,称为勾股数.,常见勾股数:,3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41;10,24,26等等.,勾股数拓展性质:,一组勾股数,都扩大相同倍数k(k为正整数),得到一组新数,这组数同样是勾股数.,4.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3,4,6 B.6,7,8 C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13,D,方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数,先排除小数,再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.,命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.,命题2 如果三角形的三边长a 、b 、

8、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,看下边的两个命题:,互逆命题和互逆定理,命题1:,直角三角形,a2+b2=c2,命题2:,直角三角形,a2+b2=c2,题设,结论,它们是题设和结论正好相反的两个命题.,发现1 两个命题的条件和结论如下所示:,发现2 两个命题的条件和结论有如下联系:,归纳总结:一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.,题设和结论正好相反的两个命题,叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.,5.说出下

9、列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗? (1)两条直线平行,内错角相等; 逆命题:内错角相等,两直线平行真命题 (2)对顶角相等; 逆命题:相等的角是对顶角假命题 (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 逆命题:到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上真命题,1. (2019威海模拟)已知M、N是线段AB上的两点,AMMN2,NB1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则ABC一定是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形,巩固练习,B,1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3,4,7 B

10、.5,12,13 C.1.5,2,2.5 D.1,3,5,2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形,B,A,3.写出下列命题的逆命题,并判断其逆命题的真假性. (1)如果两个角是直角,那么它们相等. (2)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上. (3)如果 ,那么a0.,解:(1)如果两个角相等,那么这两个角是直角.假命题.,(2)在角的内部,角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.,(3)如果a0,那么 .真命题.,4.若ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:

11、5,试判断ABC的形状.,解:设a=3k,b=4k,c=5k(k0), (3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, (3k)2+(4k)2=(5k)2, ABC是直角三角形,且C是直角.,A,B,C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向?,解:AB2+BC2122+52 =144+25=169, AC2=132=169, AB2+BC2=AC2, ABC为直角三角形,且B=90, 由于A地在B地的正东方向,所以C地在B地的正北方向.,如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点, 且CE CB,试判断AF与EF的位置关系,并说明理由,解:A

12、FEF.理由如下: 设正方形的边长为4a, 则ECa,BE3a,CFDF2a. 在RtABE中,得AE2AB2BE216a29a225a2. 在RtCEF中,得EF2CE2CF2a24a25a2. 在RtADF中,得AF2AD2DF216a24a220a2. 在AEF中,AE2EF2AF2,AEF为直角三角形,且AE为斜边AFE90,即AFEF.,勾股定理 的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,注意,最长边不一定是c, C也不一定是直角.,勾股数一定是正整数,勾股数,互逆命题和

13、互逆定理,勾股定理的逆定理的应用,第二课时,返回,工厂生产的产品都有一定的规格要求,如图所示:该模板中的AB、BC 相交成直角才符合规定。你能测出这个零件是否合格呢?(身边只有刻度尺),在军事和航海上经常要确定方向和位置,从而常需要使用一些数学知识和方法,其中勾股定理的逆定理经常会被用到,这节课让我们一起来学习吧.,2. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.,1. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.,素养目标,3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.,1,2,如图,某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”

14、号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?,N,E,P,Q,R,利用勾股定理的逆定理解答角度问题,【思考】1.认真读题,找已知是什么?,“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知,如下图.,1,2,N,E,P,Q,R,161.5=24,121.5=18,30,3.由于我们现在所能得到的都是线段长,要求角,由此我们想到利用什么思想?,要解决的问题是求出两艘船航向所成角.,勾股定理逆定理,【思考】2.需要解决的问题是什么?,转化的思想,4.知道线段长

15、度,通过线段长度来求角的度数,我们可以利用什么转化呢?,解:根据题意得,PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.,242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,QPR=90.,由“远航”号沿东北方向航行可知1=45. 2=45,即“海天”号沿西北方向航行.,方法点拨:解决实际问题的步骤:标注有用信息,明确已知和所求;构建几何模型(从整体到局部);应用数学知识求解.,1.在寻找马航MH370航班过程中,两艘搜救舰艇接到消息,在海面上有疑似漂浮目标A、B. 接到消息后,一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40方向航行,另一艘舰艇在同

16、时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里,问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度?,解:由题意得,OB121.518海里, OA161.524海里, 又AB30海里, 182242302,即OB2OA2AB2, AOB90. DOA40, BOD50. 则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50.,如图,四边形ABCD中,ABAD,已知AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边形ABCD 的面积.,解:连接BD. 在RtABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2, BD=5cm.又 CD=12cm,BC=13cm, BC2=CD

17、2+BD2,BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD = (51234)=24 (cm2),C,B,A,D,利用勾股定理的逆定理解答面积问题,2.如图,在四边形ABCD中,ACDC,ADC的面积为30 cm2,DC12 cm,AB3cm,BC4cm,求ABC的面积.,解: SACD=30 cm2,DC12 cm. AC=5 cm. 又 ABC是直角三角形, B是直角. ,如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现ABDC8m,ADBC6m,AC9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格?,解:ABDC8m,

18、ADBC6m, AB2BC282626436100. 又AC29281, AB2BC2AC2,ABC90, 该农民挖的不合格,利用勾股定理的逆定理解答检测问题,3. 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?,D,A,B,C,4,3,5,13,12,D,A,B,C,图,图,在BCD中, BCD 是直角三角形,DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.,解:在ABD中, ABD 是直角三角形,A是直角.,D,A,B,C,4,3,5,13,12,图,AB2+AD2=32+42=25=52=BD2,BD2+BC2=52+1

19、22=169=132=CD2,(2018长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五 里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的 是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( ) A7.5平方千米 B15平方千米 C75平方千米 D750平方千米,巩固练习,A,B,B,1.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中摆放方法正确的是 ( ),D,A. B. C. D.,2.如图是医院、公园和

20、超市的平面示意图,超市在医院的南偏东25的方向,且到医院的距离为300 m,公园到医院的距离为400 m,若公园到超市的距离为500 m,则公园在医院的 ( ) A.北偏东75的方向上 B.北偏东65的方向上 C.北偏东55的方向上 D.无法确定,B,3.如图,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度前进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向前进,2h后同时停下来,这时A,B两组相距30km此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由.,解:出发2小时,A组行了122=24(km), B组行了92=18(km), 又A,B两组相距30km, 且有242+182=

21、302, A,B两组行进的方向成直角,4.在城市街路上速度不得超过70千米/时,一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30距离30米处,过了2秒后行驶了50米,此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问:2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?,车速检测仪,小汽车,30米,30,北,60,解:小汽车在车速检测仪的南偏东60方向或北偏西60方向.,25米/秒=90千米/时70千米/时 小汽车超速了.,40米,如图,四边形ABCD中,B90,AB3,BC4,CD12,AD13,求四边形ABCD的面积.,分析:连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度,再

22、利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.,解:连接AC.,在RtABC中, 在ACD中, AC2+CD2=52+122=169=AD2, ACD是直角三角形, 且ACD=90. S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.,如图,在ABC中,AB:BC:CA=3:4:5且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动,点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,求PQ的长,解:设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,周长为36cm,即AB+BC+AC=36cm, AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. AB2+BC2=AC2,ABC是直角三角形,过3秒时, BP=9-32=3(cm),BQ=12-13=9(cm), 在RtPBQ中,由勾股定理得,3x+4x+5x=36,,解得x=3.,P,勾股定理的逆定理的应用,应用,航海问题,方法,认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题,与勾股定理结合解决不规则图形等问题,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,