1、17.2勾股定理的逆定理,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 下册,勾股定理的逆定理,第一课时,返回,按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？,古埃及人曾用下面的方法得到直角：,用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.,1. 掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.,2. 能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.,素养目标,据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.,勾股定理的逆定理,三边分别为3，4，5， 满足关系：32+42=52， 则
2、该三角形是直角三角形,问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？,是,做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm). 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？, 5,12,13满足52+122=132, 7,24,25满足72+242=252, 8,15,17满足82+152=172.,问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？,32+42=52，满足.,a2+b2=c2,问题
3、4 据此你有什么猜想呢?,由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,已知：如图，在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b， 并且,A,B,b,c,a,b,证明：作A1B1C1,在ABC和A1B1C 1中，,C,a,求证：C=90,使C1=90,根据勾股定理，则有,B,A,B1C1=a，C1A1=b,A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2,a2+b2=c2,A1B1 =c，,AB=A1B1,符号语言： 在ABC中， 若a2 + b2 = c2 则ABC是直角三角形,如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 +
4、b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理：,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.,例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？,(1) a=15 ， b=8 ，c=17;,解：(1)152+82=289，172=289，,(2) a=13 ，b=14 ，c=15.,(2)132+142=365，152=225，,总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长
5、的平方.,利用勾股定理的逆定理判断直角三角形,152+82=172，,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.,132+142152，,不符合勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.,1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( ) A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 4,5,6 D. 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) A.三个内角比为1：2：1 B. 三边之比为1：2： C.三边之比为 D. 三个内角比为1：2：3,D,C,D,C,例2 若ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ， 试说明ABC是直角三角形.,解：a+b=4,
6、ab=1, a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又c2=14, a2+b2=c2, ABC是直角三角形.,勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形,3.若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断ABC的形状.,解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a26a+9+b28b+16+c210c+25=0. 即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ABC是直角三角形.,勾股数,如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个
7、正整数，称为勾股数.,常见勾股数：,3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.,勾股数拓展性质：,一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.,4.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，6 B.6，7，8 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13,D,方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.,命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.,命题2 如果三角形的三边长a 、b 、
8、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,看下边的两个命题：,互逆命题和互逆定理,命题1：,直角三角形,a2+b2=c2,命题2：,直角三角形,a2+b2=c2,题设,结论,它们是题设和结论正好相反的两个命题.,发现1 两个命题的条件和结论如下所示：,发现2 两个命题的条件和结论有如下联系：,归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.,题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.,5.说出下
9、列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； 逆命题：内错角相等，两直线平行真命题 （2）对顶角相等； 逆命题：相等的角是对顶角假命题 （3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上真命题,1. （2019威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，AMMN2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则ABC一定是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形,巩固练习,B,1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B
10、.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5,2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形,B,A,3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性. (1)如果两个角是直角，那么它们相等. (2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. (3)如果 ，那么a0.,解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.,(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.,(3)如果a0，那么 .真命题.,4.若ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:
11、5，试判断ABC的形状.,解：设a=3k,b=4k,c=5k(k0), (3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, (3k)2+(4k)2=(5k)2, ABC是直角三角形，且C是直角.,A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？,解：AB2+BC2122+52 =144+25=169， AC2=132=169， AB2+BC2=AC2， ABC为直角三角形，且B=90， 由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.,如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点， 且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由,解：A
12、FEF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则ECa，BE3a，CFDF2a. 在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2. 在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2. 在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2. 在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90，即AFEF.,勾股定理 的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.,注意,最长边不一定是c， C也不一定是直角.,勾股数一定是正整数,勾股数,互逆命题和
13、互逆定理,勾股定理的逆定理的应用,第二课时,返回,工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的AB、BC 相交成直角才符合规定。你能测出这个零件是否合格呢？(身边只有刻度尺),在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.,2. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.,1. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.,素养目标,3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.,1,2,如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”
14、号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？,N,E,P,Q,R,利用勾股定理的逆定理解答角度问题,【思考】1.认真读题，找已知是什么？,“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如下图.,1,2,N,E,P,Q,R,161.5=24,121.5=18,30,3.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想？,要解决的问题是求出两艘船航向所成角.,勾股定理逆定理,【思考】2.需要解决的问题是什么？,转化的思想,4.知道线段长
15、度，通过线段长度来求角的度数，我们可以利用什么转化呢？,解：根据题意得,PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.,242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,QPR=90.,由“远航”号沿东北方向航行可知1=45. 2=45，即“海天”号沿西北方向航行.,方法点拨：解决实际问题的步骤：标注有用信息,明确已知和所求；构建几何模型(从整体到局部)；应用数学知识求解.,1.在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B. 接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40方向航行，另一艘舰艇在同
16、时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？,解：由题意得，OB121.518海里， OA161.524海里， 又AB30海里， 182242302，即OB2OA2AB2， AOB90. DOA40， BOD50. 则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50.,如图，四边形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.,解：连接BD. 在RtABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， BD=5cm.又 CD=12cm，BC=13cm, BC2=CD
17、2+BD2，BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD = (51234)=24 (cm2),C,B,A,D,利用勾股定理的逆定理解答面积问题,2.如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30 cm2，DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积.,解: SACD=30 cm2，DC12 cm. AC=5 cm. 又 ABC是直角三角形, B是直角. ,如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？,解：ABDC8m，
18、ADBC6m， AB2BC282626436100. 又AC29281， AB2BC2AC2，ABC90， 该农民挖的不合格,利用勾股定理的逆定理解答检测问题,3. 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?,D,A,B,C,4,3,5,13,12,D,A,B,C,图,图,在BCD中， BCD 是直角三角形，DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.,解：在ABD中， ABD 是直角三角形，A是直角.,D,A,B,C,4,3,5,13,12,图,AB2+AD2=32+42=25=52=BD2,BD2+BC2=52+1
19、22=169=132=CD2,（2018长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五 里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的 是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A7.5平方千米 B15平方千米 C75平方千米 D750平方千米,巩固练习,A,B,B,1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）,D,A. B. C. D.,2.如图是医院、公园和
20、超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( ) A.北偏东75的方向上 B.北偏东65的方向上 C.北偏东55的方向上 D.无法确定,B,3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.,解：出发2小时，A组行了122=24(km)， B组行了92=18(km)， 又A，B两组相距30km， 且有242+182=
21、302， A，B两组行进的方向成直角,4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?,车速检测仪,小汽车,30米,30,北,60,解：小汽车在车速检测仪的南偏东60方向或北偏西60方向.,25米/秒=90千米/时70千米/时 小汽车超速了.,40米,如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.,分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再
22、利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.,解：连接AC.,在RtABC中， 在ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ACD是直角三角形， 且ACD=90. S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.,如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长,解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时， BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)， 在RtPBQ中，由勾股定理得,3x+4x+5x=36，,解得x=3.,P,勾股定理的逆定理的应用,应用,航海问题,方法,认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题,与勾股定理结合解决不规则图形等问题,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,