1、2019-2020学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A等腰梯形B平行四边形C正三角形D圆2（2分）一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是ABCD3（2分）在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是A87，87B87，85C83，87D83，854（2分）用“配方法”解一元二次方程，下列变形结果，正确的是ABCD5（2分）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的
2、小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为设小路的宽度为，则下列方程：，其中正确的是ABCD6（2分）如图，在中，分别将、沿两条互相平行的弦、折叠，折叠后的弧均过圆心，若的半径为4，则四边形的面积是A8B16 C32D二、填空题7（3分）方程的解是8（3分）若是方程的解，则的值是9（3分）数据9，11，8，12，7，13的极差是10（3分）如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数是11（3分）小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：环数8910次数451那么他射中环数的平均数是环12（3分
3、）如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中、是正五边形的五个顶点，则的度数是13（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，则经过、三点的弧长是（结果保留14（3分）某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了元，根据题意，可列方程为15（3分）如图，是四边形的内切圆，连接、若，则的度数是16（3分）如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是三、解答题17（6分）解方程：18（6分
4、）解方程19（8分）已知：当时，二次三项式的值等于当为何值时，这个二次三项式的值是？20（8分）已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；（2）在（1）中，设、是该方程的两个根，且，求的值21（8分）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点、（1）求证；（2）若，大圆和小圆的半径分别为6和4，则的长度是22（8分）某校有、两个礼仪队，经调查统计，礼仪队成员身高的方差是，礼仪队成员身高如图所示：礼仪队成员身高条形统计图（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为、，若选择其中一人加入礼
5、仪队后，礼仪队成员的身高比礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是（填写成员序号）23（8分）如图，过点的直线和正三角形的边平行（1）利用直尺和圆规作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：是的切线24（8分）【阅读】与代数式的部分对应值如表：0122可知：当时，当时，所以方程的一个解在和之间【理解】（1）方程的另一个解在两个连续整数和之间【应用】（2）若关于的一元二次方程的一个解在1和2之间，求的取值范围25（8分）某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整26（10分）某小型工厂9月份生产的、
6、两种产品数量分别为200件和100件，、两种产品出厂单价之比为，由于订单的增加，工厂提高了、两种产品的生产数量和出厂单价，10月份产品生产数量的增长率和产品出厂单价的增长率相等，产品生产数量的增长率是产品生产数量的增长率的一半，产品出厂单价的增长率是产品出厂单价的增长率的2倍设产品生产数量的增长率为（1）用含有的代数式填表（不需化简）9月份生产数量生产数量的增长率10月份生产数量产品200产品100（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了，求的值27（10分）在中，是的内切圆，分别与的延长线、的延长线以及直线均只有一个公共点，的半径为，的半径为（1）当时，时，（
7、2）当取下列度数时，求的面积（用含有、的代数式表示）如图，；如图，2019-2020学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分）1（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A等腰梯形B平行四边形C正三角形D圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解【解答】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确故选：【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形
8、的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2（2分）一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是ABCD【分析】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积【解答】解：圆锥的底面圆半径为4，圆锥的底面圆周长，则圆锥的侧面积为，故选：【点评】此题主要考查了圆锥侧面积的计算、圆锥的侧面展开图掌握扇形面积公式是解决问题的关键3（2分）在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是A87
9、，87B87，85C83，87D83，85【分析】首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可【解答】解：这组数据排序后为83，83，87，87，87，90，这组数据的众数是87，这组数据的中位数是故选：【点评】本题考查了中位数和众数的定义注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数4（2分）用“配方法”解一元二次方程，下列变形结果，正确的是ABCD【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解【解答】解：故选：【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次
10、项绝对值的一半的平方5（2分）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为设小路的宽度为，则下列方程：，其中正确的是ABCD【分析】如果设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程【解答】解：设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；根据题意即可得出方程为：，或故选：【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键6（2分）如图，在中，分别将、沿两条互相平行的弦、折叠，折叠后的弧均过圆心，若的半径为4，则四
11、边形的面积是A8B16 C32D【分析】过作交于，反向延长交于，交于，连接，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，得到，三点共线，且为的直径，求得，同理，得到四边形是矩形，于是得到结论【解答】解：过作交于，反向延长交于，交于，连接，分别将、沿两条互相平行的弦、折叠，折叠后的弧均过圆心，同理，是等边三角形，三点共线，且为的直径，同理，四边形是矩形，四边形的面积是，故选：【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键二、填空题7（3分）方程的解是，【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为
12、0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【解答】解：，移项得：，分解因式得：，可得或，解得：，故答案为：，【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解8（3分）若是方程的解，则的值是1【分析】把代入方程得到后移项即可求得答案【解答】解：是方程的解，故答案为：1【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程两边相等，难度不大9（3分）数据9，11，8，12，7，13的极差是6【分析】根据极差的定义即可求得【解答】解：数
13、据9，11，8，12，7，13的极差是$13-7=6$；故答案为：6【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值10（3分）如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数是65【分析】根据圆周角定理和直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：是的直径，故答案为：65【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用11（3分）小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：环数8910次数451那么他射中环数的平均数是8.7环【分析】求出所有数据的和，再除以数据的总个数即可得
14、出答案【解答】解：根据题意得：（环，答：他射中环数的平均数是8.7环；故答案为：8.7【点评】本题考查的是加权平均数的求法，平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数12（3分）如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中、是正五边形的五个顶点，则的度数是108【分析】根据五边形的内角和公式求出，根据对顶角相等即可求解【解答】解：五角星里面是正五边形，故答案为：108【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、对顶角的性质是解题的关键13（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，则经过、三点的弧长是（结果保留【分析】先作图确定圆心，然
15、后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可【解答】解：连接、，作与的垂直平分线交于点，点即为、所在圆的圆心，则，可知，过、三点的弧：故答案为【点评】本题主要考查的是弧长的计算、直角三角形的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键14（3分）某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了元，根据题意，可列方程为【分析】根据已知直接得出每千克水果获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量；利用每千克水果品获利月销售量总利润，
16、进而求出答案【解答】解：设水果单价涨了元，由题意可得：每千克水产品获利元，月销售量减少千克；由题意可列方程，故答案为：【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销量是解题关键15（3分）如图，是四边形的内切圆，连接、若，则的度数是70【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在和中，同理可得：，故答案为：【点评】此题主要考查了切线的性质定理、全等三角形的判定和性质，正确应用切线的性质定理是解题关键16（3分）如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是【分析】延长到，使，当，三
17、点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：延长到，使，当，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，的最小值是，故答案为：【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到点的位置是解题的关键三、解答题17（6分）解方程：【分析】公式法的步骤：化方程为一般形式；找出，；求；代入公式【解答】解：，；，【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解此法适用于任何一元二次方程18（6分）解方程
18、【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：两边开方得：，解得：，【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键19（8分）已知：当时，二次三项式的值等于当为何值时，这个二次三项式的值是？【分析】根据一元二次方程的解的定义将，列出关于的方程，通过解方程求得的值；然后将的值代入关于的方程，再通过解该方程求得的值即可【解答】解：由题意得，即，解得；（2分），得，（4分）【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义、解一元二次方程因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就
19、可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法20（8分）已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；（2）在（1）中，设、是该方程的两个根，且，求的值【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可，（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可【解答】解：（1）根据题意得：，解得：，即的取值范围为：，（2）根据题意得：，解得：（符合题意），即的值为3【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键21（8分）如图，
20、在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点、（1）求证；（2）若，大圆和小圆的半径分别为6和4，则的长度是【分析】（1）作于，如图，根据垂径定理得到，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接，如图，设，利用勾股定理得到，则，然后解方程求出即可得到的长【解答】（1）证明：作于，如图，；（2）解：连接，如图，设，在中，在中，解得，【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理22（8分）某校有、两个礼仪队，经调查统计，礼仪队成员身高的方差是，礼仪队成员身高如图所示：礼仪队成员身高条形统计图（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因
21、工作需要，礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为、，若选择其中一人加入礼仪队后，礼仪队成员的身高比礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是（填写成员序号）【分析】（1）根据平均数，方差的定义即可得到结论；（2）根据方差的定义即可得到结论【解答】解：（1）礼仪队成员身高的平均数为，礼仪队成员身高的方差为，礼仪队成员身高的方差是，礼仪队成员身高的方差大于礼仪队成员身高的方差；（2）礼仪队成员身高的平均数为，礼仪队成员的身高比礼仪队成员的身高稳定，这个候选人的身高必须最接近平均数，故这个候选人是，故答案为：【点评】本题考查了条形统计图，方差，正确的理解题意是解题的关键23（8分）如图，过
22、点的直线和正三角形的边平行（1）利用直尺和圆规作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：是的切线【分析】（1）作和的垂直平分线，它们的交点为，然后以点为圆心，为半径画圆；（2）延长交于，如图，先判断垂直平分，再利用平行线的性质得到，然后根据切线的判定定理可得到结论【解答】（1）如图，为所作；（2）证明：延长交于，如图，垂直平分，是的切线【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了切线的判定24（8分）【阅读】与
23、代数式的部分对应值如表：0122可知：当时，当时，所以方程的一个解在和之间【理解】（1）方程的另一个解在两个连续整数0和之间【应用】（2）若关于的一元二次方程的一个解在1和2之间，求的取值范围【分析】（1）根据与代数式的部分对应值的表即可得出答案；（2）根据方程有一个根在1和2之间知，解之可得【解答】解：（1）当时，当时，方程的另一个根在0和1之间；故答案为0，1；（2）中，开口向下，对称轴为直线，由题意可知一元二次方程的一个解在1和2之间，解得：【点评】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法25（8分）某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时
24、，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整【分析】如图1，如图2，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】 解：如图1，即；如图2，即，综上所述，圆内接四边形对角互补【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键26（10分）某小型工厂9月份生产的、两种产品数量分别为200件和100件，、两种产品出厂单价之比为，由于订单的增加，工厂提高了、两种产品的生产数量和出厂单价，10月份产品生产数量的增长率和产品出厂单价的增长率相等，产品生产数量的增长率是产品生产数量的增长率的一半，产品出厂单价的增长率是产品出厂单价的增长率的2倍
25、设产品生产数量的增长率为（1）用含有的代数式填表（不需化简）9月份生产数量生产数量的增长率10月份生产数量产品200产品100（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了，求的值【分析】（1）根据“10月份产品生产数量的增长率和产品出厂单价的增长率相等，产品生产数量的增长率是产品生产数量的增长率的一半，产品出厂单价的增长率是产品出厂单价的增长率的2倍”填空；（2）根据（1）中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90元列出方程并解答【解答】解：（1）由题意，得：9月份生产数量生产数量的增长率10月份生产数量产品200产品100故答案是：；（2）（元（元解得（舍
26、去），即的值是【点评】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解27（10分）在中，是的内切圆，分别与的延长线、的延长线以及直线均只有一个公共点，的半径为，的半径为（1）当时，时，2，（2）当取下列度数时，求的面积（用含有、的代数式表示）如图，；如图，【分析】（1）如图，设点，分别是3个切点，连接，连接，由面积法可得的值，再由正方形的性质及切线长定理可得的值；（2）由于，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用和表示；连接，由切线长定理得，由含角的直角三角形的性质及面积法，可得答案【解答】解：（1）如图，设点，分别是3个切点，连接，连接，由已知，四边形为正方形由切线长定理可知，（2）如图，由切线的性质，可知，设的面积为，周长为同（1），根据面积法可知如图又如图，连接，由切线长定理得：，平分又【点评】本题考查了三角形的内切圆与切线长定理等知识点，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键