1、2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2分）下列图案中，是中心对称图形的是ABCD2（2分）抛物线的顶点坐标为ABCD3（2分）体育课上，小悦在点处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的，四个点处，则表示他最好成绩的点是ABCD4（2分）将抛物线向下平移3个单位长度所得到的抛物线是ABCD5（2分）已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是，若水面高则排水管道截面的水面宽度为ABCD6（2分）如图，在中，则的度数为ABCD7（2分）下列是关于四个图案的描述图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼
2、”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是A图1和图3B图2和图3C图2和图4D图1和图48（2分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点若顶点到轴的距离为8，则线段的长度为A2BCD4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9（2分）在平面直角坐标系中，点绕原点旋转后所得到的点的坐标为10（2分）写出一个对称轴是轴的抛物线的解析式：11（2分）如图，、是的切线，、为切点，是的直径，则 12（2分）若二次函数的图
3、象上有两点，则（填“”，“ ”或“” 13（2分）如图，边长为2的正方形绕着点顺时针旋转，则点运动的路径长为14（2分）如图，在中，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于 15（2分）如图，已知正方形的三个顶点坐标分别为，若抛物线与正方形的边共有3个公共点，则的取值范围是16（2分）如图，在中，（1）作和的垂直平分线交于点；（2）以点为圆心，长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点，；（4）连接，其中与交于点根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，；点是的外心；点是的内心所有正确结论的序号是三、解答题（本题共68分，第1722题，每小题5分，第2326题，每小题5分，第
4、2728题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17（5分）已知抛物线的对称轴为，是抛物线上一点，求该抛物线的解析式18（5分）如图，等腰三角形中，作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接求证：19（5分）请完成下面题目的证明如图，已知与相切于点，点，在上求证：证明：连接并延长，交于点与相切于点，是的直径，（填推理的依据），（填推理的依据）20（5分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，是上一点，垂足为，求这段弯路的半径21（5分）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点（1）求该二次函数的解析式；（2）当时，的最大值为，最小值为22（5分）如图，已知
5、等边三角形，为内一点，连接，将绕点旋转至（1）依题意补全图形；（2）若，求的度数23（6分）如图，在中，以为直径的半圆交于点，是该半圆所在圆的圆心，为线段上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径24（6分）悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁其缆索几何形状一般近似于抛物线从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住某悬索桥（如图，是连接两个地区的重要通道图2是该悬索桥的示意图小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线
6、，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即，两个索塔均与桥面垂直主桥的长为，引桥的长为缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点相距处的吊杆长为若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端与锚点的距离25（6分）探究函数的图象与性质小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是与的几组对应值0123013请直接写出：，；（2）如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程有三个不同的解，记为，且请直接写
7、出的取值范围26（6分）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中点在轴上（1）用含有的代数式表示；（2）若点在第一象限，且，求抛物线的解析式；若，结合函数图象，直接写出的取值范围27（7分）如图，在等腰中，将点关于直线对称得到点，作射线与的延长线交于点，在的延长线上取点，使得，连接（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）作的延长线与的延长线交于点，写出一个的值，使得成立，并证明28（7分）在平面内，为线段外的一点，若以，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在点，中，线段的
8、直角点是；（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，直线的解析式为如图2，是直线上的一个动点，若是线段的直角点，求点的坐标；如图3，是直线上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点若的半径为，且上恰有两个点为直线关于点的伴随点，直接写出的取值范围2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2分）下列图案中，是中心对称图形的是ABCD【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个
9、点叫做对称中心进行分析即可【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项不合题意；、不是中心对称图形，故此选项不合题意；、不是中心对称图形，故此选项不合题意；、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2（2分）抛物线的顶点坐标为ABCD【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论【解答】解：抛物线的解析式为：，其顶点坐标为故选：【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键3（2分）体育课上，小悦在点处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的，四个点处，则表示他最好成绩的点是ABCD【分析
10、】比较线段的长短，即可得到，进而得出表示他最好成绩的点【解答】解：如图所示，表示他最好成绩的点是点，故选：【点评】本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法4（2分）将抛物线向下平移3个单位长度所得到的抛物线是ABCD【分析】原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式【解答】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为，由平移不改变二次项系数，故得到的抛物线解析式为：故选：【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化5（
11、2分）已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是，若水面高则排水管道截面的水面宽度为ABCD【分析】作于，交于，由垂径定理得出，求出，由勾股定理求出，即可得出【解答】解：作于，交于，连接，如图所示：则，排水管道截面的水面宽度为，故选：【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出是解决问题的关键6（2分）如图，在中，则的度数为ABCD【分析】根据题意可知，即可推出【解答】解：，故选：【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于求出7（2分）下列是关于四个图案的描述图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；
12、图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是A图1和图3B图2和图3C图2和图4D图1和图4【分析】分别计算出各阴影部分的面积即可得到结论【解答】解：设外圈大圆的半径为，则外圈大圆的面积，图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称，阴影部分的面积大圆面积一半；图2所示是一个正三角形的面积；图3所示是一个正方形的面积；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二，小圆的面积，故选：【点评】本题考查了正多边形与圆，正多边形的面积的计算，正确的计算正多边形
13、的面积是解题的关键8（2分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点若顶点到轴的距离为8，则线段的长度为A2BCD4【分析】设顶点式，再解方程得，然后把点和点的横坐标相减得到的长【解答】解：设抛物线解析式为，当时，解得，所以，所以故选：【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程也考查了二次函数的性质二、填空题（本题共16分，每小题2分）9（2分）在平面直角坐标系中，点绕原点旋转后所得到的点的坐标为【分析】将点绕原点旋转，实际上是求点关于原点的对称点的坐标【解答】解：根据题意得，点关于原点的对称点是点，点坐标为，点的坐标故答案为：
14、【点评】本题考查了坐标与图形的变换旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键10（2分）写出一个对称轴是轴的抛物线的解析式：【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可【解答】解：抛物线的解析式为，故答案为：【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一11（2分）如图，、是的切线，、为切点，是的直径，则【分析】连接，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得的度数【解答】解：连接，、是的切线，、为切点，【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三
15、角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力，注意：圆的切线垂直于过切点的半径12（2分）若二次函数的图象上有两点，则（填“”，“ ”或“” 【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点、距离对称轴的远近即可判断出与的大小关系【解答】解：二次函数数的对称轴是，开口向上，点距离对称轴较近，距离对称轴较远，故答案为：【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键13（2分）如图，边长为2的正方形绕着点顺时针旋转，则点运动的路径长为【分析】先利用正方形的性质得到，再利用旋转的性质可判断点运动的路径为以点为圆心，为
16、半径，圆心角为90度所对的弧，然后根据弧长公式计算即可【解答】解：四边形为边长为2的正方形，正方形绕着点顺时针旋转，点运动的路径长故答案为【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算也考查了正方形的性质14（2分）如图，在中，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解【解答】解：如图，点为的中点，在中，故答案为：【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是
17、解题的关键15（2分）如图，已知正方形的三个顶点坐标分别为，若抛物线与正方形的边共有3个公共点，则的取值范围是【分析】由于函数的图象为开口向上，顶点在轴上的抛物线，因为、点为抛物线与与正方形有有3个公共点的临界点，代入求出即可得解【解答】解：函数的图象为开口向上，顶点在轴上的抛物线，其图象与正方形的边共有3个公共点为点和点，把点坐标代入，得；把点坐标代入，得抛物线与正方形的边共有3个公共点，则的取值范围是故答案为：【点评】本题考查二次函数图象与正方形交点的问题，需要先判断抛物线的开口方向，顶点位置及抛物线与正方形二者的临界交点，需要明确临界位置及其求法16（2分）如图，在中，（1）作和的垂直平
18、分线交于点；（2）以点为圆心，长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点，；（4）连接，其中与交于点根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，；点是的外心；点是的内心所有正确结论的序号是【分析】利用垂径定理可对进行判断；同时根据三角形外心的定义可对进行判断；利用圆周角定理可得到、为角平分线，则利用三角形内心的定义可对进行判断【解答】解：作的垂直平分线，则平分，则；所以正确；作的垂直平分线，则平分，则，所以错误；所以正确；利用点的中点得到，点为的中点得到，则点为的内心，所以正确故答案为【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本
19、作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了垂径定理和圆周角定理三、解答题（本题共68分，第1722题，每小题5分，第2326题，每小题5分，第2728题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17（5分）已知抛物线的对称轴为，是抛物线上一点，求该抛物线的解析式【分析】利用待定系数法即可求得抛物线的解析式【解答】解：因为的对称轴为，所以，得，又因为是抛物线上一点，所以得，所以抛物线的解析式为【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键18（5分）如图，等腰三角形中，作于点，将
20、线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接求证：【分析】由旋转的性质和已知条件易证由全等三角形的性质可得，进而开证明【解答】证明：线段绕点顺时针旋转角得到线段，在与中，【点评】本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的各种判定方法是证题的关键19（5分）请完成下面题目的证明如图，已知与相切于点，点，在上求证：证明：连接并延长，交于点与相切于点，是的直径，直径所对的圆周角是（填推理的依据），（填推理的依据）【分析】根据圆周角定理和等式的性质填写理由即可【解答】解：连接并延长，交于点与相切于点，是的直径，（直径所对的圆周角是，（同弧所对的圆周角相等），故答案为：直径所对的圆周角是
21、，同弧所对的圆周角相等【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，熟记知识点是解题的关键20（5分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，是上一点，垂足为，求这段弯路的半径【分析】根据题意，可以推出，若设半径为，则，结合勾股定理可推出半径的值【解答】解：设这段弯路的半径为 ，于，得中，根据勾股定理有即解得答：这段弯路的半径为130 【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为后，用表示出、的长度21（5分）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点（1）求该二次函数的解析式；（2）当时，的最大值为，最小值为【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解
22、方程求出得到该二次函数的解析式；（2）利用配方法得到，当时，利用二次函数的性质得到，有最小值0；，有最大值，把代入解析式可得到的最大值【解答】解：（1）由题意二次函数图象与轴只有一个公共点则方程有两个相等的实数解，所以解得；所以该二次函数的解析式为，（2）因为，当时，有最小值0；，有最大值4，所以的最大值为4，最小值为0【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程也考查了二次函数的性质22（5分）如图，已知等边三角形，为内一点，连接，将绕点旋转至（1）依题意补全图形；（2）若，求的度数【分析】（1）根据题目的条件要求直接补全图形即可；（
23、2）连接，易证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形，进而可求出的度数【解答】解：（1）依题意补全图形，如图所示：（2）连接，为等边三角形，旋转得到，为等边三角形，在中，【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型23（6分）如图，在中，以为直径的半圆交于点，是该半圆所在圆的圆心，为线段上一点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径【分析】（1）连接根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到，求得根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：连接，是的
24、切线；（2）解：，为直径，是的切线是的切线，中，的半径为2【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键24（6分）悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁其缆索几何形状一般近似于抛物线从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住某悬索桥（如图，是连接两个地区的重要通道图2是该悬索桥的示意图小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即，两个索塔均与
25、桥面垂直主桥的长为，引桥的长为缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点相距处的吊杆长为若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端与锚点的距离【分析】建立平面直角坐标系并求得函数的解析式，令求得的长，然后利用勾股定理求得的长即可【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系依题意可知，由抛物线的对称性可知，则可得点坐标：，设抛物线的表达式为，因为抛物线经过点，所以将点的坐标带入得解得，得抛物线的表达式为，当时，得，因为，所以所以答：索塔顶端与锚点的距离为155米【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系并求得函数的解析式，难度中等25（6分）
26、探究函数的图象与性质小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是与的几组对应值0123013请直接写出：1，；（2）如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程有三个不同的解，记为，且请直接写出的取值范围【分析】（1）把和代入，即可求出、的值；（2）画出该函数的图象即可；（3）根据画出函数的图象，即可求出的图象【解答】解：（1）把代入，得把代入，得故答案为，；（2）如图：（3）由图形可知，的取值范围是【点评】本题考查了二次函数的
27、图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想正确画出函数的图象是解题的关键26（6分）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中点在轴上（1）用含有的代数式表示；（2）若点在第一象限，且，求抛物线的解析式；若，结合函数图象，直接写出的取值范围【分析】（1）由题意直线与轴交于点，可得点坐标为，将点坐标代入抛物线解析式，即可求解；（2）设与轴交于点，可得：，则点的坐标为，即可求解；（）当点在点右侧时，如上图所示，则，时，抛物线对称轴从随的增加向右侧移动，抛物线的对称轴，则，故；（）当点在点的左侧，同理可得：，即可求解【解答】解：（1）由题意直线与轴交于点可得点坐标为，抛物线经过
28、点所以将点坐标代入抛物线解析式可得，即（2）设与轴交于点，可得： ， 可知又因，所以如图，已知，过作轴于点，则又因，所以所以点的坐标为将点的坐标代入抛物线的解析式可得并与（1）中得到的联立方程组可得：解得得抛物线的解析式为；（）当点在点右侧时，如上图所示，则，时，抛物线对称轴从随的增加向右侧移动，抛物线的对称轴，则，故；（）当点在点的左侧，当时，同理可得：抛物线的表达式为：，故：，故时，；综上，或【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏27（7分）如图，在等腰中，将点关于直线对称得到点，作射线与的延长线交于点，在的延长线
29、上取点，使得，连接（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）作的延长线与的延长线交于点，写出一个的值，使得成立，并证明【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答【解答】解：（1）如图所示（2）证明：点与点关于直线对称，；（3），证明：如图，点与点关于直线对称，由（2）得，（或者，垂直平分，由（2）得，【点评】此题考查作图轴对称变换，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答28（7分）在平面内，为线段外的一点，若以，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点特别地，当该三角形为等腰直角三
30、角形时，称为线段的等腰直角点（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在点，中，线段的直角点是和；（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，直线的解析式为如图2，是直线上的一个动点，若是线段的直角点，求点的坐标；如图3，是直线上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点若的半径为，且上恰有两个点为直线关于点的伴随点，直接写出的取值范围【分析】（1）根据为线段的直角点的定义一一判断即可（2）分三种情形：，分别求解即可解决问题如图3中，设以为边向下作正方形，连接，交于点，则，是线段的等腰直角点求出点，的运动轨迹，再利用直线与圆的位置关系确定半径的取值范围【解答】解：（1）线段的
31、直角点为，故答案为和（2）当时，设点的坐标为点的坐标为，点在直线上，解得点的坐标为当时，设点的坐标为点的坐标为，点在直线上，解得点的坐标为，当时如图，设点的坐标为取的中点，点在直线上，点，的坐标分别为，点的坐标为，由勾股定理得方程，解得或5，当时，当时，故的坐标为或综上，点的坐标为或或或如图3中，设以为边向下作正方形，连接，交于点，则，是线段的等腰直角点过点作轴的平行线，分别过点，作轴的平行线，得到，点的运动轨迹是直线，点的运动轨迹是直线，当直线与相切时，当直线与相切时，观察图象可知，满足条件的的取值范围是：【点评】本题属于圆综合题，考查了为线段的直角点为线段的等腰直角点的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题