1、2019-2020学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是ABCD2（3分）如图，矩形的对角线交于点若，则等于ABCD3（3分）已知关于的一元二次方程有一个根是5，则该方程的另一个根是AB0C1D4（3分）正方形具有而矩形不具有的性质是A对边相等B对角相等C对角线相等D对角线互相垂直5（3分）一元二次方程配方后可变形为ABCD6（3分）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“数”如“947”就是一个“数”若十位上的数字为2，则从1，3，4，5
2、中任选两数，能与2组成“数”的概率是ABCD7（3分）若关于的一元二次方程的解是，则的值是A2015B2017C2019D20218（3分）随着人们环保意识的不断增强，延安市家庭电动自行车的拥有量逐年增加据统计，某小区2016年底拥有家庭电动自行车125辆，2018年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆若该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率相同且均为，则可列方程为ABCD9（3分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形现有一个对角线长分别为6和8的菱形，它的中点四边形的对角线长是A5BC6D1010（3分）如图，四边形是一张平行四边形纸片，张老师要
3、求学生利用所学知识作出一个菱形甲、乙两位同学的作法如下：甲：如图1，连接，作的中垂线交、于点、，则四边形是菱形乙：如图2，分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是A仅甲正确B仅乙正确C甲、乙均正确D甲、乙均错误二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11（3分）若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则12（3分）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入3个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.7左右，则袋
4、中红球约有个13（3分）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 14（3分）如图，用两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分为四边形若两张矩形纸条的长度均为8，宽度均为2，则四边形的周长的最大值为三、解答题（共9小题，计78分.解答应写出过程）15（7分）解方程：16（7分）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围17（8分）如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接过点作，垂足为，与相交于点求证：18（8分）小云的书包里只放了纸大小的试卷共4张，其中语文1张、数学2张、英语1张（1）若随机地从书包中抽出1张，则抽出的试卷是数学试卷的概率为（2）若随机地从书包中
5、抽出2张，用画树状图的方法，求抽出的试卷中有数学试卷的概率19（8分）如图，在中，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿这向点以的速度移动当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，运动时间为秒（1）求几秒后，的长度等于；（2）运动过程中，的面积能否等于？说明理由20（8分）如图，菱形对角线交于点，与交于点（1）试判断四边形的形状，并说明你的理由；（2）若，求的长21（10分）甲、乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲、乙两人抽得的两个数字之积，若积
6、为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜（1）用列表的方法，列出甲、乙两人抽得的数字所有可能出现的情况（2）请判断该游戏对甲、乙双方是否公平？并说明理由22（10分）“十一黄金周”期间，晋华旅行社推出了“三晋文化游”项目的团购活动，收费标准如下：若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元，（但每人收费不低于700元），设有人参加这一旅游项目的团购活动（1）当时，每人的费用为 元；（2）某社区居民组团参加该活动，共支付旅游费用27000元，求该社区共有多少人参加此次“三晋文化游”？23（12分）【定义学习】定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的
7、四边形为“对直四边形”【判断尝试】在梯形；矩形；菱形中，是“对直四边形”的是（填序号）【操作探究】在菱形中，于点，请在边和上各找一点，使得以点、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长在边上时，在边上时，的长为的长为【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若米，米，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余求分割后得到的等腰三角形的腰长2019-2020学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题
8、只有一个选项是符合题意的）1（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是ABCD【分析】根据一元二次方程的定义解答【解答】解：、，时，是一元一次方程，故错误；、是分式方程，故错误；、是二元二次方程，故错误；、是一元二次方程，故正确；故选：【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是22（3分）如图，矩形的对角线交于点若，则等于ABCD【分析】根据矩形的性质可得，再依据三角形外角性质可知【解答】解：四边形是矩形，故选：【点评】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线互相平分且分成的四条线段都相等
9、3（3分）已知关于的一元二次方程有一个根是5，则该方程的另一个根是AB0C1D【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系列式计算即可得出答案【解答】解：设方程的另一根为，则，解得：；故选：【点评】本题考查了根与系数的关系，要知道，一元二次方程的根与系数的关系为：，4（3分）正方形具有而矩形不具有的性质是A对边相等B对角相等C对角线相等D对角线互相垂直【分析】根据正方形的性质、矩形的性质即可判断【解答】解：正方形和矩形都具有的性质是对边相等，对角相等，对角线相等，对角线互相垂直是正方形具有矩形不具有的性质，故选：【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
10、中考常考题型5（3分）一元二次方程配方后可变形为ABCD【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得【解答】解：，即，故选：【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键6（3分）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“数”如“947”就是一个“数”若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“数”的概率是ABCD【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与与2组成“数”的情况，利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：可以组成的数有：32
11、1，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，其中是“数”的有：423，523，324，524，325，425，从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“数”的概率是：故选：【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比7（3分）若关于的一元二次方程的解是，则的值是A2015B2017C2019D2021【分析】把代入已知方程求得的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可【解答】解：关于的一元二
12、次方程的解是，则，故选：【点评】本题考查了一元二次方程的解定义解题时，利用了“整体代入”的数学思想8（3分）随着人们环保意识的不断增强，延安市家庭电动自行车的拥有量逐年增加据统计，某小区2016年底拥有家庭电动自行车125辆，2018年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆若该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率相同且均为，则可列方程为ABCD【分析】设该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率相同且均为，则增长2次以后的车辆数是【解答】解：由题意，得故选：【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题：若原数是，每次增长的百分率为，则第
13、一次增长后为；第二次增长后为，即 原数增长百分率）后来数9（3分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形现有一个对角线长分别为6和8的菱形，它的中点四边形的对角线长是A5BC6D10【分析】顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解【解答】解：顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形，理由如下：、分别为各边中点，四边形是矩形，故选：【点评】本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用10（3分）如图，四边形是一张平行四边形纸片，张老
14、师要求学生利用所学知识作出一个菱形甲、乙两位同学的作法如下：甲：如图1，连接，作的中垂线交、于点、，则四边形是菱形乙：如图2，分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是A仅甲正确B仅乙正确C甲、乙均正确D甲、乙均错误【分析】首先证明，可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形是平行四边形，再由，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出是菱形；四边形是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得，所以四边形是菱形【解答】解：甲的作法正确；四边形是平行四边形，是的垂直平分线，在和中，四边形是平行四边形，四边形是菱形；乙
15、的作法正确；，平分，平分，且，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形；故选：【点评】本题考查的是作图复杂作图，熟知平行四边形的性质及菱形的判定定理是解答此题的关键二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11（3分）若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则1【分析】根据方程的系数结合两根之和等于，即可求出结论【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，故答案为：1【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键12（3分）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入3个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放
16、回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.7左右，则袋中红球约有7个【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.7左右，口袋中有3个白球，假设有个红球，解得：，口袋中有红球约有7个故答案为：7【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键13（3分）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为或1【分析】根据规定运算，将方程转化为一元二次方程求解【解答】解：根据规定运算，方程可化为， 移项，得
17、，两边开平方，得，解得，故答案为：或1【点评】本题考查了直接开方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；，同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”14（3分）如图，用两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分为四边形若两张矩形纸条的长度均为8，宽度均为2，则四边形的周长的最大值为17【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；设菱形的边长为，根据勾股定理求出周长即可【解答】解：由题意得：，四边形是平行四边形，用两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分为四边
18、形，宽宽，四边形是菱形当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为，在中，由勾股定理：，解得：，即菱形的最大周长为【点评】本题利用了菱形的判定和平行四边形的面积公式，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和勾股定理是解题的关键三、解答题（共9小题，计78分.解答应写出过程）15（7分）解方程：【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：分解因式得：，可得或，解得：，【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键16（7分）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围【分析
19、】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，解得：【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键17（8分）如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接过点作，垂足为，与相交于点求证：【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到，根据，即可得出，从而证出，得到【解答】证明：四边形是正方形，又，【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形18（8分）小云的书包里只放了纸大小的试卷共4张，其
20、中语文1张、数学2张、英语1张（1）若随机地从书包中抽出1张，则抽出的试卷是数学试卷的概率为（2）若随机地从书包中抽出2张，用画树状图的方法，求抽出的试卷中有数学试卷的概率【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽出的试卷中有数学试卷的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）若随机地从书包中抽出1张，则抽出的试卷是数学试卷的概率为；故答案为：（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽出的试卷中有数学试卷的结果数为10，所以抽出的试卷中有数学试卷的概率为【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
21、出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率19（8分）如图，在中，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿这向点以的速度移动当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，运动时间为秒（1）求几秒后，的长度等于；（2）运动过程中，的面积能否等于？说明理由【分析】（1）根据，利用勾股定理，求出即可；（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到【解答】解：（1）当时，在中，当或2时，的长度等于（2）设经过秒以后面积为8，整理得：的面积不能等于【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答20（8分）如图，菱形对角线交于点，与交于
22、点（1）试判断四边形的形状，并说明你的理由；（2）若，求的长【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形；（2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到【解答】解：（1）四边形是矩形证明：，四边形是平行四边形又菱形对角线交于点，即四边形是矩形（2）四边形是矩形，在菱形中，【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键21（10分）甲、乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张
23、，计算甲、乙两人抽得的两个数字之积，若积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜（1）用列表的方法，列出甲、乙两人抽得的数字所有可能出现的情况（2）请判断该游戏对甲、乙双方是否公平？并说明理由【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可；（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果【解答】解：（1）列表如下甲乙123123所有等可能的情况有9种，分别为；，（6分）（2）该游戏对甲、乙双方不公平，理由：积为奇数的情况有4种，积为偶数的情况有5种，（甲（乙，则该游戏对甲、乙双方不公平【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
24、否则就不公平22（10分）“十一黄金周”期间，晋华旅行社推出了“三晋文化游”项目的团购活动，收费标准如下：若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元，（但每人收费不低于700元），设有人参加这一旅游项目的团购活动（1）当时，每人的费用为800元；（2）某社区居民组团参加该活动，共支付旅游费用27000元，求该社区共有多少人参加此次“三晋文化游”？【分析】（1）当时，根据“若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元，（但每人收费不低于700元）”可得每人的费用为元；（2）该社区共支付旅游费用270
25、00元，显然人数超过了25人，设该社区共有人参加此次“三晋文化游”，则人均费用为元，根据旅游费人均费用人数，列一元二次方程求的值，结果要满足上述不等式【解答】解：（1）当时，每人的费用为元故答案为800；（2）设该社区共有人参加此次“三晋文化游”，由题意，得：，解得，检验：当时，人均旅游费用为，当时，人均旅游费用为，不合题意，舍去，答：该社区共有30人参加此次“三晋文化游”【点评】本题考查了一元二次方程的应用关键是设旅游人数，表示人均费用，根据旅游费人均费用人数，列一元二次方程23（12分）【定义学习】定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”【判断尝试】在梯形；
26、矩形；菱形中，是“对直四边形”的是（填序号）【操作探究】在菱形中，于点，请在边和上各找一点，使得以点、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长在边上时，在边上时，的长为的长为【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若米，米，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余求分割后得到的等腰三角形的腰长【分析】【判断尝试】直接根据“对直四边形”定义可得：矩形是“对直四边形”；【操作探究】在边上时，如图1，作，得矩形，根据勾股定理可得的长；在边上时，如图2，作，证明是等边三角形
27、，可得的长；【实践应用】存在两种情况：如图3，矩形，是的中点，如图4，是的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结论【解答】解：【判断尝试】在梯形；矩形；菱形中，是“对直四边形”的是；故答案为：【操作探究】在边上时，如图1，中，；在边上时，如图2，四边形是菱形，是等边三角形，故答案为：2，；【实践应用】如图3，矩形，是的中点，中，是等腰直角三角形，且，即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为米；如图4，是的中点，同理得是等腰直角三角形，即此时分割后得到的等腰三角形的腰长为2米【点评】此题是四边形综合题，主要考查了新定义“对直四边形”的理解、掌握和运用，同时还考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，解本题的关键是作出图形，还考查了分类讨论的数学思想