1、2019-2020学年河北省保定市定州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题；毎小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）下列方程中，是一元二次方程的是ABCD2（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是ABCD3（3分）方程的解是ABC，D，4（3分）已知点与点关于坐标原点对称，则实数、的值是A，B，C，D，5（3分）抛物线的顶点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6（3分）为内一点，且，若的半径为3，则过点的最短的弦是A1B2CD7（3分）已知关于的一元二次方程一个根为3，则另一个根为A1BC2D8（3分）若，是抛物线
2、上的两个点，则它的对称轴是ABCD9（3分）如图，线段是的直径，弦，则等于ABCD10（3分）如图，在中，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为ABCD11（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为，根据题意列方程得ABCD12（3分）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是ABCD二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13（3分）方程的根是 14（3分）已知直线与抛物线一个交点的横坐标为，则 15（3分）已
3、知函数，当 时，随的增大而增大16（3分）如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转后得到，若，则图中阴影部分的面积为 17（3分）如图，在中，截三边所得的弦长相等，则的度数是 18（3分）校运会上，一名男生推铅球，出手点距地面，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是时，达到最大高度，那么该名男生推铅球的成绩是 三、解答下列各题（本题有8个小题，共66分）19（9分）根据要求解方程（1）（公式法）；（2）（配方法）；（3）（适当的方法）20（7分）如图，是的外接圆，求弦的长21（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点，的坐标分别是、（1）将
4、向下平移3个单位后得到，则点的坐标为 ；（2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为 ；（3）在（2）中的旋转过程中，线段扫过的图形的面积 22（8分）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由23（8分）（1）如图，和都是等腰直角三角形，点在线段上，点在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系是：（2）如图，将图中的绕点顺时针旋转，（1）小题中线段与线段的关系是否成立？如果不成立，说
5、明理由，如果成立，请你结合图给出的情形进行证明24（8分）已知关于的一元二次方程：（1）求证：对于任意实数，方程都有实数根；（2）当为何值时，二次函数的图象与轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由25（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件，试营销阶段发现；当销售单价25元件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？26（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，（
6、1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点时线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；毎小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）下列方程中，是一元二次方程的是ABCD【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件
7、者为正确答案【解答】解：、方程未知数的最高次数是1，属于一元一次方程；故本选项错误；、中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；、符合一元二次方程的定义；故本选项正确；、该方程是分式方程；故本选项错误；故选：【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是22（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是ABCD【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可【解答】解：、图形不是中心对称图形；、图形是中心对称图形；、图形不是中心对称图形；、图形不是中心对称图形，故选：【点评】本题考查的
8、是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合3（3分）方程的解是ABC，D，【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程4（3分）已知点与点关于坐标原点对称，则实数、的值是A，B，C，D，【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答【解答】解：点与点关于坐标原点对称，故选：【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、
9、纵坐标都是互为相反数5（3分）抛物线的顶点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据二次函数的性质的顶点坐标是即可写出顶点坐标，然后确定其位置即可【解答】解：抛物线的顶点坐标为，在第一象限，故选：【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆的顶点坐标是，是关键6（3分）为内一点，且，若的半径为3，则过点的最短的弦是A1B2CD【分析】先作出最短弦，过作弦，连接，构造直角三角形，由勾股定理求出，根据垂径定理求出即可【解答】解：过作弦，则是过点的最短弦，连接，由勾股定理得：，过圆心，故选：【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能作出最短弦，题目比较典型，主要培养了学生运用定理
10、进行推理的能力7（3分）已知关于的一元二次方程一个根为3，则另一个根为A1BC2D【分析】设方程的另一根为，利用根与系数的关系可得到关于的方程，可求得答案【解答】解：设方程的另一根为，方程一个根为3，解得，即方程的另一根为，故选：【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题的关键8（3分）若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是ABCD【分析】由已知，点、是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数【解答】解：因为点、在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴；故选：【点评】本题考查了二次函数的对称性二次函数关于对称轴成
11、轴对称图形9（3分）如图，线段是的直径，弦，则等于ABCD【分析】利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案【解答】解：线段是的直径，弦，故选：【点评】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键10（3分）如图，在中，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为ABCD【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答【解答】解：，绕点旋转得到，故选：【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键11（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为
12、128元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为，根据题意列方程得ABCD【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解【解答】解：根据题意得：，故选：【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可12（3分）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是ABCD【分析】曲线段扫过的面积，则，即可求解【解答】解：曲
13、线段扫过的面积，则，故抛物线向上平移3个单位，则故选：【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13（3分）方程的根是，【分析】先把方程变形为，把方程左边因式分解得，则有或，然后解一元一次方程即可【解答】解：，或，故答案为，【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可14（3分）已知直线与抛物线一个交点的横坐标为，则【
14、分析】根据交点的横坐标，代入直线解析式，可得交点的纵坐标，把交点的坐标代入抛物线解析式，可得二次函数解析式中的值【解答】解：将代入直线得，则交点坐标为，将代入得，解得故答案为：【点评】本题考查了二次函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求二次函数的解析式，比较简单15（3分）已知函数，当时，随的增大而增大【分析】首先确定二次函数的对称轴，然后据对称轴及开口方向判断其增减性即可【解答】解：中，对称轴为，开口向下，当时随增大而增大故答案为：【点评】此题考查了二次函数的性质，利用顶点坐标公式求得对称轴是解决问题的关键16（3分）如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转后得到，若，则图中阴影部分的面积为【分
15、析】设与交点为，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质求出，然后求出，再根据直角三角形角所得到直角边等于斜边的一半可得，然后利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解【解答】解：如图，设与交点为，是等腰直角三角形，是绕点逆时针旋转后得到，即，解得，故阴影部分的面积故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键17（3分）如图，在中，截三边所得的弦长相等，则的度数是【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而，进一步求出的度数【解答】解：中，截
16、的三条边所得的弦长相等，到三角形三条边的距离相等，即是的内心，故答案是：【点评】本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单18（3分）校运会上，一名男生推铅球，出手点距地面，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是时，达到最大高度，那么该名男生推铅球的成绩是10【分析】把代入，求出的值即可，再求出抛物线与轴的交点即可解决问题；【解答】解：设二次函数的解析式为，把代入，解得，则二次函数的解析式为：；令得到：，解得，（舍去），则铅球推出的距离为故答案为10【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键三、解答下列各题（本题有8个小题，共66分
17、）19（9分）根据要求解方程（1）（公式法）；（2）（配方法）；（3）（适当的方法）【分析】（1）直接求出，进而利用公式法解方程即可；（2）直接利用配方法解方程得出答案；（3）直接利用提取公因式法解方程得出答案【解答】解：（1），解得：，；（2），则，解得：，；（3），则或，解得：，【点评】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握解方程的几种方法是解题关键20（7分）如图，是的外接圆，求弦的长【分析】交于，如图，利用圆周角定理得到，再证明，则根据垂径定理得到，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出，从而得到的长【解答】解：交于，如图，在中，【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心
18、角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形根据条件得出，是解题的关键21（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点，的坐标分别是、（1）将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为；（2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为 ；（3）在（2）中的旋转过程中，线段扫过的图形的面积 【分析】（1）利用网格特点和点平移的规律得到点、，的坐标，然后描点得到；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点、对应点、，则可得到，再写出点的坐标；（3）线段扫过的图形是以为圆心，为半径，圆心角为90度的扇形，则利用扇形面积公式
19、可计算出线段扫过的图形的面积【解答】解：（1）如图，为所作，点的坐标为；（2）如图，为所作，点的坐标为；（3），所以在（2）中的旋转过程中，线段扫过的图形的面积故答案为，【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了平移变换22（8分）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，
20、请说明理由【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形其中一个正方形的长为，表示出另一个的长，然后根据“两个正方形的面积之和等于”作为相等关系列方程，解方程即可求解；（2）与（1）一样列出方程，利用根的判别式进行判断即可【解答】解：设剪成两段后其中一段为，则另一段为由题意得：，解得：，当时，当时，答：两段的长度分别为16和；（2）不能理由是：，整理得：此方程无解即不能剪成两段使得面积和为【点评】此题考查了一元二次方程的应用，此题等量关系是：两个正方形的面积之和或48读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键23（8分）（1）如图，和都是等腰直角三角形，点在线段上，点在线段上，请直接写出
21、线段与线段的数量关系与位置关系是：，（2）如图，将图中的绕点顺时针旋转，（1）小题中线段与线段的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图给出的情形进行证明【分析】（1）由等腰三角形的性质可求解；（2）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得【解答】解：（1），故答案为：，；（2）（1）结论成立，理由：如图，延长交于，和都是等腰直角三角形，由旋转的性质得，在与中，即：【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键24（8分）已知关于的一元二次方程：（1）求证：对于任意实数，方程都有实数根；（2）当为何值时，二次函数的图象与轴的两个交点横坐
22、标互为相反数？请说明理由【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：对于任意实数，方程都有实数根；（2）设方程的两根分别为、，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出，解之即可得出结论【解答】解：（1）证明：在方程中，对于任意实数，方程都有实数根；（2）解：令，得到设方程的两根分别为、，由题意可知，方程的两个根互为相反数，解得：当时，方程的两个根互为相反数【点评】本题考查了根的判别式、相反数以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据相反数的定义结合根与系数的关系，找出25（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件，试营销
23、阶段发现；当销售单价25元件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）利用每件利润销量总利润，进而得出与的函数关系式；（2）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案【解答】解：（1）由题意可得：；（2），当时，取到最大值2250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键26（10分）如图，抛物线与轴
24、交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点时线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标【分析】（1）把，代入列方程组即可（2）先求出的长，分两种情形当时，当时分别求解即可（3）求出直线的解析式，设则，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题【解答】解：（1）把，代入得，解得，抛物线的解析式为（2）存在如图1中，当时，可得，当时，可得，综上所述，满足条件的点的坐标为或或（3）如图2中，对于抛物线，当时，解得，由，得直线的解析式为，设则，当时，有最大值2，此时是中点，当运动到的中点时，面积最大，最大面积，此时【点评】本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题