1、2019-2020学年陕西省西安市莲湖区远东一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计3分，每小题只有一个选项是符合题意的）1（3分）下面关于的方程中：一元二次方程的个数是；为任意实数）； A1B2C3D42（3分）如图，菱形的对角线、的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A20B24C40D483（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是AB且CD4（3分）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是ABCD5（3分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由
2、于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为，则可得方程ABCD6（3分）下列说法：四边相等的四边形一定是菱形顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有个A4B3C2D17（3分）布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是8（3分）如图，将边长为2的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形的重叠部分的面积为1，
3、则它移动的距离等于A0.5B1C1.5D29（3分）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于，连接，则的度数是ABCD10（3分）如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接，若，则下列结论，其中正确结论个数是垂直平分；A4个B3个C2个D1个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11（3分）设、是方程的两个实数根，则的值为 12（3分）若从，1，2这三个数中，任取两个分别作为点的横、纵坐标，则点在第二象限的概率是13（3分）如图，在矩形纸片中，点在上，且若将纸片沿折叠，点恰好与上的点重合，则 14（3分）如图，在边长为正方形中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点
4、从点开始沿和边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止过了 秒钟后，的面积等于三、计算题（共6小题，计78分）15（24分）用适当的方法解下列一元二次方程（1）（2）（3）（4）16（8分）如图，已知、为平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形为矩形17（12分）已知，如图，菱形，于，且为的中点，已知（1）的度数；（2）的长；（3）菱形的面积18（10分）已知关于的方程（1）若该方程的一个根为2，求的值及该方程的另一根（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根19（10分）在颍上县开展的创建文明城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长的空
5、地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成（如图所示）若设花园的边长为，花园的面积为（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由；（3）当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？20（14分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角
6、的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“ ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率2019-2020学年陕西省西安市莲湖区远东一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计3分，每小题只有一个选项是符合题意的）1（3分）下面关于的方程中：一元二次方程的个数是；为任意实数）； A1B2C3D4【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可【解答】解
7、：，时是一元二次方程；，是一元二次方程；，是分式方程；为任意实数），是一元二次方程；，是无理方程故一元二次方程有2个，故选：【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键2（3分）如图，菱形的对角线、的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A20B24C40D48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长【解答】解：由菱形对角线性质知，且，则，故这个菱形的周长故选：【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定
8、理计算的长是解题的关键，难度一般3（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是AB且CD【分析】讨论：当时，方程化为，方程有一个实数解；当时，然后求出两个中情况下的的公共部分即可【解答】解：当时，方程化为，解得；当时，解得，所以的范围为故选：【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根4（3分）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是ABCD【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根
9、据草坪的面积是，即可列出方程【解答】解：设道路的宽为，根据题意得：，故选：【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程5（3分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为，则可得方程ABCD【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），根据二、三月份平均每月的增长为，则二月份的产量是吨，三月份的产量是，再根据第一季度共生产钢铁1850吨列方程即可【解答】解：依题意得二月份的
10、产量是，三月份的产量是，故选：【点评】能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和6（3分）下列说法：四边相等的四边形一定是菱形顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有个A4B3C2D1【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可【解答】解：四边相等的四边形一定是菱形，正确；顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，错误；对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；经过平行四边形对角线交点的直
11、线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，正确；其中正确的有2个故选：【点评】本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键7（3分）布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率【解答】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，（一红一黄）故选：【点评】本题考查了画树状图与列表法，可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
12、合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比8（3分）如图，将边长为2的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形的重叠部分的面积为1，则它移动的距离等于A0.5B1C1.5D2【分析】根据平移的性质，结合阴影部分为平行四边形， 与均是等腰直角三角形，设，则阴影部分的底，高，根据平行四边形的面积公式列方程求解即可【解答】解：设交于点，是等腰三角形设，则阴影部分的底，高若两个三角形的重叠部分的面积为1则即故选：【点评】本题考查了正方形的性质、平移的性质、等腰三角形的性质及平行四边形的面积公式，牢记相关公式及性质，是解题的关键9（3分）如图，四边形是菱形，对角线，
13、相交于点，于，连接，则的度数是ABCD【分析】由四边形是菱形，可得，又由，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数【解答】解：四边形是菱形，故选：【点评】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得是等腰三角形是关键10（3分）如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接，若，则下列结论，其中正确结论个数是垂直平分；A4个B3个C2个D1个【分析】利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；在和中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；可证明；可通过面积转化进行解答【解答】解：矩形
14、中，为中点，是等边三角形，垂直平分，故正确；为等边三角形，与不全等；故错误；易知，故正确；易知，故正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11（3分）设、是方程的两个实数根，则的值为【分析】根据根与系数的关系得到、的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可【解答】解：方程、是方程的两个实数根，故答案为：【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则，12
15、（3分）若从，1，2这三个数中，任取两个分别作为点的横、纵坐标，则点在第二象限的概率是【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到点在第二象限的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：列表如下：由表可知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果，所以点在第二象限的概率是，故答案为：【点评】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数，再找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率13（3分）如图，在矩形纸片中，点在上，且若将纸片沿折叠，点恰好与上的点重合，则4【分析】根据题意推出，由推出，即【解答】解：，四边形是矩形，故答案为：4【点评】本题
16、主要考查翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于推出14（3分）如图，在边长为正方形中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿和边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止过了2或秒钟后，的面积等于【分析】设经过秒，的面积等于，分类讨论当秒时，点在上运动，在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，点在上运动，在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值【解答】解：设经过秒，的面积等于，当秒时，点在上运动，在上运动，所以，解得或4，又知，故符合题意，当秒时，点在上运动，在上运动，解得故答案为：2或【点评】本题主要考查一元二次方程
17、的应用的知识点，解答本题的关键是点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般三、计算题（共6小题，计78分）15（24分）用适当的方法解下列一元二次方程（1）（2）（3）（4）【分析】（1）移项，系数化成1，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（1），；（2），；（3），；（4），整理得：，【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键
18、16（8分）如图，已知、为平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形为矩形【分析】连接交于，由平行四边形的性质得出，由已知条件得出，证出四边形为平行四边形，再由，即可得出结论【解答】证明：连接交于，如图所示：四边形是平行四边形，是平行四边形；，四边形为矩形【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是解决问题的关键17（12分）已知，如图，菱形，于，且为的中点，已知（1）的度数；（2）的长；（3）菱形的面积【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质结合菱形的性质得出是等边三角形，进而得出答案；（2）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出的长；（3）直
19、接利用菱形面积求法得出答案【解答】解：（1）于，且为的中点，四边形是菱形，是等边三角形，；（2），是等边三角形，；（3）菱形的面积为：【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定方法，正确应用菱形的性质是解题关键18（10分）已知关于的方程（1）若该方程的一个根为2，求的值及该方程的另一根（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【分析】（1）解：设方程的另一根为，利用根与系数的关系得到，然后通过解方程组可得到和的值；（2）先计算判别式的值得到，然后利用非负数的性质得到，则根据判别式的意义可判断不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【解答】（1）解：设方程的另一根为，根
20、据题意得，所以，解得，所以；（2）证明：，不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，也考查了根的判别式19（10分）在颍上县开展的创建文明城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成（如图所示）若设花园的边长为，花园的面积为（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由；（3）当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？【分析】（1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取
21、值范围；（2）求当时的值，根据自变量的取值范围回答问题；（3）根据二次函数关系的性质结合自变量的取值范围即可求解【解答】解：（1）根据题意得：，墙长，自变量的取值范围是；（2）当时，即，解得：，此花园的面积不能达到；（3）的图象是开口向下的抛物线，对称轴为当时，随的增大而减小，当时，有最大值，此时即：当时，花园面积最大，最大面积为【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件20（14分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分
22、学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了100名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“ ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用的百分比即可求出的扇形圆心角度数（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图（3）用样本中喜欢
23、用微信进行沟通的百分比来估计1500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案；（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为，此次共抽查了：人喜欢用沟通所占比例为：，”的扇形圆心角的度数为：（2）喜欢用短信的人数为：人喜欢用微信的人数为：补充图形，如图所示：（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：人（4）列出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：故答案为：（1）100；【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型