1、2019-2020学年湖北省随州市高新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分1（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是ABCD2（3分）二次函数的顶点坐标是ABCD3（3分）已知互不相等的实数、，且满足，则的值为A14BC10D4（3分）如图， 四边形内接于，已知，则的度数是A B C D 5（3分）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为A0B1C2D36（3分）下列说法中，正确的个数为：在等圆中，等弦对等弧；直径是圆的对称轴；平分弦的直径垂直于这条弦；弦的中垂线一定经过圆心A0B1C2D37（3分）以坐标原点为旋转中心
2、，把点逆时针旋转，得到点，则点关于轴对称的点的坐标为ABCD8（3分）已知，则的值为A1B或5C5D1或9（3分）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是ABCD10（3分）已知两点，均在抛物线上，点，是抛物线的顶点，若，则的取值范围是ABCD二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分11（3分）已知点与点关于点对称，则12（3分）如图，、分别与相切于、两点，若，则的度数为 13（3分）已知的直径为10，圆心，则截轴所得的弦长为 14（3分）某公司今年元月份利润为500万元，以后两个月均匀增长，第一季度的利润1820万元，设该公司利润月平均增长率为，根据题意可列方程15（3分）已知关于的
3、函数的图象与轴只有一个交点，则16（3分）定义，为函数的特征数，下面给出特征数为，的函数的一些结论：当时，函数图象的顶点坐标是，；当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；当时，函数在时，随的增大而减小；当时，函数图象经过轴上一个定点其中正确的结论有 （只需填写序号）三、解答题：共72分17（6分）直角坐标系第二象限内的点，与另一点关于原点对称，试求的值18（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，（1）求的取值范围；（2）若，满足，求的值19（8分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克针
4、对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？20（10分）已知，如图，平行四边形中，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点，（1）求证：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数21（8分）如图，在平面直角坐标系中，点，点为线段上的动点，于，于，当矩形的邻边之比为时，求点的坐标22（10分）如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点，交边于点，作于点（1）求证：是的切线；（2）若的边长为4，求的长度23（10分）阅读理解题：学习了二次
5、根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，我们来进行以下的探索：设（其中，都是正整数），则有，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法，请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，得，（2）若且，都为正整数，求的值24（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，有为斜边的等腰直角三角形，其中点，点，抛物线经过点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点（点除外），使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分1（3分）
6、下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意故选：【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合2（3分）二次函数的顶点坐标是ABCD【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，然后再判断该二次函数的顶点坐标【解
7、答】解：；该抛物线的顶点坐标是；故选：【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法关键是掌握求顶点坐标的公式或配方法3（3分）已知互不相等的实数、，且满足，则的值为A14BC10D【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：由题意可知：、是方程的两根，原式，故选：【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型4（3分）如图， 四边形内接于，已知，则的度数是A B C D 【分析】根据圆内接四边形的性质解答 【解答】解：四边形内接于，故选：【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质， 掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键 5（3分）已知圆
8、的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为A0B1C2D3【分析】若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离【解答】解：根据题意，可知圆的半径为因为圆心到直线的距离为，直线和圆相离，所以直线和圆的公共点的个数为0，故选：【点评】主要考查了直线与圆的位置关系，利用，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离是解题关键6（3分）下列说法中，正确的个数为：在等圆中，等弦对等弧；直径是圆的对称轴；平分弦的直径垂直于这条弦；弦的中垂线一定经过圆
9、心A0B1C2D3【分析】根据弦与弧的关系、垂径定理判断【解答】解：在等圆中，等弦对等弧；故符合题意；直径所在的直线是圆的对称轴；故不符合题意，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦；故不符合题意；弦的中垂线一定经过圆心，故符合题意；故选：【点评】本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键7（3分）以坐标原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，则点关于轴对称的点的坐标为ABCD【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点的坐标即可【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点的坐标为故选：【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，作出图形，利用数
10、形结合的思想求解更形象直观8（3分）已知，则的值为A1B或5C5D1或【分析】设，则由题意得关于的一元二次方程，用因式分解法求解即可【解答】解：设，则由题意得：或（舍故选：【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元技巧及利用因式分解法来解一元二次方程，是解题的关键9（3分）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是ABCD【分析】由函数图象已知，再根据对称轴的位置即可判断和的大小，问题得解【解答】解：由函数图象已知，故选：【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记二次函数的各种性质是解题的关键10（3分）已知两点，均在抛物线上，点，是抛物线的顶点，若，则的取值范围是
11、ABCD【分析】由于点，是该抛物线的顶点且，可得出抛物线开口向上，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出、之间的关系，进而可得出，即，此题得解【解答】解：点，是抛物线的顶点，抛物线有最小值，函数图象开口向上，故选：【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分11（3分）已知点与点关于点对称，则【分析】根据对称的性质转化为方程组解决问题即可【解答】解：点与点关于点则有，解得，故答案为【点评】本题考查坐标与图形的性质，中心对称等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型12（
12、3分）如图，、分别与相切于、两点，若，则的度数为【分析】先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数【解答】解：、分别与相切于、两点，故答案为【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理13（3分）已知的直径为10，圆心，则截轴所得的弦长为6【分析】根据垂径定理解答即可【解答】解：的直径为10，截轴所得的弦长为6，故答案为：6【点评】此题考查垂径定理问题，关键是根据点的坐标得出的长度14（3分）某公司今年元月份利润为500万元，以后两个月均匀增长，第一季度的利润1820万元，设该公司利润月平均增长率为，根据题意可列方程【分析
13、】一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设公司利润的月平均增长率为，然后根据已知条件可得出方程【解答】解：设该公司利润月平均增长率为，根据题意可列方程，故答案为：【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程15（3分）已知关于的函数的图象与轴只有一个交点，则1或【分析】根据关于的函数的图象与轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得的值，本题得以解决【解答】解：函数的图象与轴只有一个交点，当时，此时时，该函数与轴只有一个交点，当时，解得，由上可得，的值是1或，故答案为：1或【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题
14、意，利用分类讨论的方法解答16（3分）定义，为函数的特征数，下面给出特征数为，的函数的一些结论：当时，函数图象的顶点坐标是，；当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；当时，函数在时，随的增大而减小；当时，函数图象经过轴上一个定点其中正确的结论有（只需填写序号）【分析】把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；令函数值为0，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答【解答】解：因为函数的特征数为，；当时，顶点坐标是，；此结论正确；当时，令，有，解得，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，
15、此结论正确；当时， 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边随的增大而减小因为当时，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；当时， 即对任意，函数图象都经过点那么同样的：当时，函数图象都经过同一个点，当时，函数图象经过同一个点，故当时，函数图象经过轴上一个定点此结论正确根据上面的分析，都是正确的，是错误的故答案为：【点评】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征三、解答题：共72分17（6分）直角坐标系第二象限内的点，与另一点关于原点对称，试求的值【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数
16、，可得、的值，根据有理数的运算，可得答案【解答】解：根据题意，得，（不符合题意，舍），【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出、的值是解题关键18（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，（1）求的取值范围；（2）若，满足，求的值【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）根据根与系数的关系，分情况讨论即可求得的值【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，即解得答：的求值范围为（2）根据根与系数的关系：，满足，当时，把代入，得解得，当时，解得，答：的值为或【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题
17、的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式19（8分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？【分析】设销售单价定为每千克元，根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量（销售单价，然后根据利润每千克的利润销售的数量列出方程，求出的值即可【解答】解：设销售单价定为每千克元时，则月销售量为：千克，每千克的销售利润是：元，则，解得：，要“薄利多销”，答：要使月销售利润达到8000元
18、，销售单价应定为60元【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，正确寻找题目中等量关系，构建方程解决问题20（10分）已知，如图，平行四边形中，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点，（1）求证：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数【分析】（1）根据推出，根据平行四边形性质得出，即可推出四边形是平行四边形；（2）证，推出，得出四边形是平行四边形，根据勾股定理求出，求出，求出，根据，推出，根据菱形的判定推出即可【解答】（1）证明：，又平行四边形，四边形是平行四边形；（2
19、）当旋转角时，四边形是菱形，理由如下：平行四边形，在和中，四边形是平行四边形，在中，由勾股定理得：，又，四边形是菱形，即在旋转过程中，四边形能是菱形，此时绕点顺时针旋转的度数是【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，此题综合性比较强，但是一道比较好的题目21（8分）如图，在平面直角坐标系中，点，点为线段上的动点，于，于，当矩形的邻边之比为时，求点的坐标【分析】根据矩形的性质和直线的解析式解答即可【解答】解：设点的坐标为，设的解析式为：，把点，代入，可得：，解得：，所以的解析式为：，把点的坐
20、标为代入可得：，解得：，所以点的坐标为，【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据直线的解析式解答22（10分）如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点，交边于点，作于点（1）求证：是的切线；（2）若的边长为4，求的长度【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接，根据等边三角形的性质求出、，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可【解答】（1）证明：如图1，连接，是等边三角形，于点点在上，是的切线；（2）解：如图2，连接，为直径，是等边三角形，【点评】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直
21、线是圆的切线是解题的关键23（10分）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，我们来进行以下的探索：设（其中，都是正整数），则有，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法，请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当，都为正整数时，若，用含，的式子分别表示，得，（2）若且，都为正整数，求的值【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，而，都是正整数，则利用无理数和有理数的意义得到，；（2）利用（1）的方法得到，再利用，都为正整数得到，或，然后计算对应的的值即可【解答】解：（1），；故答案为，；（2），都为正整数，而，当时，此时；当时，此时；综上所述，的值
22、为21或9【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍24（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，有为斜边的等腰直角三角形，其中点，点，抛物线经过点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点（点除外），使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意，过点作轴，垂足为；根据角的互余的关系，易得到、轴的距离，即的坐标；（2）根据抛物线过点的坐标，可得的值，进而可得其解析式；
23、（3）首先假设存在，分、是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案【解答】解：（1）过点作轴，垂足为，又，点的坐标为；（2）抛物线经过点，则得到，解得，所以抛物线的解析式为；（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，可求得点；若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，同理可证，可求得点，以为直角顶点的等腰的顶点有两种情况即过点作直线，在直线上截取时，点可能在轴右侧，即现在解答情况的点；点也可能在轴左侧，即还有第种情况的点因此，然后过作轴于，同理：，；经检验，点与点都在抛物线上，点不在抛物线上【点评】本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，能力要求极高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法