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2018-2019学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)设集合AxN|2x2的真子集的个数是()A8B7C4D32(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的是()AyByx1Cyx2Dy2x3(5分)已知f(x),则ff(2)()A5B1C7D24(5分)a40.9、b80.48、c()1.5的大小关系是()AcabBbacCabcDacb5(5分)已知函数f(x+1)2x3,若f(m)4,则m的值为()ABCD6(5分)函数f(x)ax(a0,a1)的图象可能是()ABCD7(5

2、分)设f(x)是(,+)上的减函数,则()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2+a)f(a)Df(a2+1)f(a)8(5分)下列变化过程中,变量之间不是函数关系的为()A地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系B在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息与存款天数的关系C某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系D近年来,中国高速铁路迅猛发展,中国高铁年运营里程与年份的关系9(5分)已知实数a,b满足等式2017a2018b,下列关系式不可能成立的是()A0abBab0C0baDab10(5分)一次社会实践活动中,数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y与时间

3、x(年)的函数图象(如图),以下给出了关于该产品生产状况的几点判断:前三年的年产量逐步增加;前三年的年产量逐步减少;后两年的年产量与第三年的年产量相同;后两年均没有生产其中正确判断的序号是()ABCD11(5分)已知函数f(x),若函数g(x)f(x)m恰有一个零点,则实数m的取值范围是()A0,1B(,0)(1,+)C(,0(1,+)D(,0)1,+)12(5分)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1x)f(1+x),若f(1)2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)()A10B2C0D4二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13(5分)计算(2)(3)  

4、; 14(5分)如图所示,图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为   15(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)g(x)x3+x2+1,则f(1)+g(1)   16(5分)已知函数f(x)(t0)的最大值为M,最小值为N,且M+N4,则实数t的值为   三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知函数f(x)+的定义域为集合M(1)求集合M;(2)若集合Nx|2a1xa+1,且MN2,求N18(12分)已知函数f(x)(aR)(1)若f(x)为奇函数,求实数a的值;(2)当

5、a0时,判断函数f(x)的单调性,并用定义证明19(12分)已知四个函数f(x)2x,g(x)()x,h(x)3x,p(x)()x,若yf(x),yg(x)的图象如图所示(1)请在如图坐标系中画出yh(x),yp(x)的图象,并根据这四个函数的图象抽象出指数函数具有哪些性质?(2)举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说明理由20(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比,其关系如图;投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比,其关系如图(注:收益与投资额单位:万元)()分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系;(

6、)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?21(12分)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且满足f(x+y)f(x)f(y),且f(2)(1)求f(4)的值;(2)当x时,f(kx2)2f(2x5)恒成立,求实数k的取值范围22(12分)对于区间a,b(ab),若函数yf(x)同时满足:f(x)在a,b上是单调函数;函数yf(x),xa,b的值域是a,b,则称区间a,b为函数f(x)的“保值”区间(1)求函数yx2的所有“保值”区间;(2)函数yx2+m(m0)是否存在“保值”区间?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明

7、理由2018-2019学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)设集合AxN|2x2的真子集的个数是()A8B7C4D3【分析】先求出集合A0,1,由此能求出集合A的真子集的个数【解答】解:集合AxN|2x20,1,集合A的真子集的个数是:2213故选:D【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的是()AyByx1Cyx2Dy2x【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性以

8、及单调性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,y是奇函数但不是增函数,不符合题意;对于B,yx1,不是奇函数,不符合题意;对于C,yx2,为偶函数不是奇函数,不符合题意;对于D,y2x是正比例函数,既是奇函数又是增函数,符合题意;故选:D【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性、单调性,属于基础题3(5分)已知f(x),则ff(2)()A5B1C7D2【分析】根据所给解析式先求f(2),再求ff(2)【解答】解:f(2)22+31,所以ff(2)f(1)(1)2+12故选:D【点评】本题考查分段函数求值问题,属基础题,关键看清所给自变量的值所在

9、范围4(5分)a40.9、b80.48、c()1.5的大小关系是()AcabBbacCabcDacb【分析】利用有理指数幂的运算性质将a,b,c均化为2x的形式,利用y2x的单调性即可得答案【解答】解:a40.921.8,b80.4821.44,c21.5,y2x为单调增函数,而1.81.51.44,acb故选:D【点评】本题考查不等关系与不等式,考查有理数指数幂的化简求值,属于中档题5(5分)已知函数f(x+1)2x3,若f(m)4,则m的值为()ABCD【分析】由2x34,得x,再由mx+1,能求出结果【解答】解:函数f(x+1)2x3,f(m)4由2x34,得x,mx+1故选:B【点评】

10、本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6(5分)函数f(x)ax(a0,a1)的图象可能是()ABCD【分析】先判断函数的单调性,再判断函数恒经过点(1,0),问题得以解决【解答】解:当0a1时,函数f(x)ax,为减函数,当a1时,函数f(x)ax,为增函数,且当x1时f(1)0,即函数恒经过点(1,0),故选:D【点评】本题主要考查了函数的图象和性质,求出函数恒经过点是关键,属于基础题7(5分)设f(x)是(,+)上的减函数,则()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2+a)f(a)Df(a2+1)f(a)【分析】采用排除法,根据a的取值范围,

11、根据导数与函数单调性的关系,即可求得答案【解答】解:f(x)是(,+)上的减函数,当a0时,a2a,f(a)f(2a),当a0时,a2a,f(a)f(2a),故A错误;当a0,则a2a,则f(a2)f(a),故B错误;当a0,a2+aa,则f(a2+a)f(a),故C错误;由a2+1a,则f(a2+1)f(a)故选:D【点评】本题考查导数与函数的单调性的关系,属于基础题8(5分)下列变化过程中,变量之间不是函数关系的为()A地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系B在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息与存款天数的关系C某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系D近年来,中国高速铁路迅猛发展

12、,中国高铁年运营里程与年份的关系【分析】根据函数的定义对各个选项分别判断即可【解答】解:根据函数的定义得:某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系不是函数关系,故选:C【点评】本题考查了函数的定义,考查对应关系,是一道基础题9(5分)已知实数a,b满足等式2017a2018b,下列关系式不可能成立的是()A0abBab0C0baDab【分析】分别画出y2017x,y2018x,根据实数a,b满足等式2017a2018b,即可得出【解答】解:分别画出y2017x,y2018x,实数a,b满足等式2017a2018b,可得:ab0,ab0,ab0而0ab不成立故选:A【点评】本题考查了函数的单调性、不等

13、式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题10(5分)一次社会实践活动中,数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象(如图),以下给出了关于该产品生产状况的几点判断:前三年的年产量逐步增加;前三年的年产量逐步减少;后两年的年产量与第三年的年产量相同;后两年均没有生产其中正确判断的序号是()ABCD【分析】利用该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象直接求解【解答】解:由该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象,得:前三年的年产量逐步减少,故错误,正确;后两年均没有生产,故错误,正确故选:B【点评】本题考查命题真假的判断,考查

14、该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象的性质等基础知识,考查数形结合思想,是基础题11(5分)已知函数f(x),若函数g(x)f(x)m恰有一个零点,则实数m的取值范围是()A0,1B(,0)(1,+)C(,0(1,+)D(,0)1,+)【分析】作出f(x)的函数图象,根据图象判断m的值【解答】解:令g(x)0得f(x)m,作出yf(x)的函数图象如图所示:由图象可知当m0或m1时,f(x)m只有一解故选:D【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的关系,属于中档题12(5分)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1x)f(1+x),若f(1)2,则f(1)+f(2)+f(3)

15、+f(4)()A10B2C0D4【分析】推导出f(2+x)f(1(x+1)f(x)f(x),f(x+4)f(x+2)f(x),从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)f(1)+f(0)+f(1)+f(0),由此能求出结果【解答】解:f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1x)f(1+x),f(2+x)f(1(x+1)f(x)f(x),f(x+4)f(x+2)f(x),f(1)2,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)f(1)+f(0)+f(1)+f(0)0故选:C【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分

16、.)13(5分)计算(2)(3)1【分析】化带分数为假分数,再由有理指数幂的运算性质化简求值【解答】解:(2)(3)故答案为:1【点评】本题考查有理指数幂的运算性质,是基础的计算题14(5分)如图所示,图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为(AB)(UC)【分析】利用维恩图直接求解【解答】解:如图所示图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为:(AB)(UC)故答案为:(AB)(UC)【点评】本题考查集合的交集的求法,考查维恩图的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题15(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)g(x)x3+x2+1,

17、则f(1)+g(1)1【分析】将原代数式中的x替换成x,再结合着f(x)和g(x)的奇偶性可得f(x)+g(x),再令x1即可【解答】解:由f(x)g(x)x3+x2+1,将所有x替换成x,得f(x)g(x)x3+x2+1,f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,f(x)f(x),g(x)g(x),即f(x)+g(x)x3+x2+1,再令x1,得f(1)+g(1)1故答案为:1【点评】本题考查利用函数奇偶性求值,本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于1也可以得到计算结果,属于基础题16(5分)已知函数f(x)(t0)的最大值为M,最小值为N,且M+N4,则实数t的值为2【分析】由

18、题意f(x)t+g(x),其中g(x)是奇函数,从而2t4,即可求出实数t的值【解答】解:由题意,f(x)+t,显然函数g(x)是奇函数,函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N4,Mt(Nt),即2tM+N4,t2,故答案为:2【点评】本题考查函数的最大值、最小值,考查函数是奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知函数f(x)+的定义域为集合M(1)求集合M;(2)若集合Nx|2a1xa+1,且MN2,求N【分析】(1)要使得函数f(x)有意义,则需满足,从而求出M(3,2;(2)根据MN

19、2,便可得出2N,从而得出2a12,求出a即可得出集合N【解答】解:(1)要使函数f(x)有意义,则需;解得3x2;函数f(x)的定义域M(3,2;(2)MN2,且M(3,2;2N;解得;【点评】考查函数定义域的概念及求法,指数函数的单调性,交集的概念,元素与集合的关系18(12分)已知函数f(x)(aR)(1)若f(x)为奇函数,求实数a的值;(2)当a0时,判断函数f(x)的单调性,并用定义证明【分析】(1)根据函数的奇偶性的定义求出a的值即可;(2)根据函数的单调性的定义证明即可【解答】解:(1)函数f(x)的定义域是R,且f(x),由yf(x)是奇函数,得对任意的x都有f(x)f(x)

20、,故,得2x(a1)1a,解得:a1;(2)由a0得:f(x)1,任取x1,x2R,设x1x2,则f(x2)f(x1),y2x在R递增且x1x2,0,又(+1)(+1)0,故f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1),故f(x)在R递增【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题,考查单调性的证明,是一道中档题19(12分)已知四个函数f(x)2x,g(x)()x,h(x)3x,p(x)()x,若yf(x),yg(x)的图象如图所示(1)请在如图坐标系中画出yh(x),yp(x)的图象,并根据这四个函数的图象抽象出指数函数具有哪些性质?(2)举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说

21、明理由【分析】(1)根据指数函数的图象性质,得出结论(2)举细胞分裂的例子,抽象出指数函数的一个实例【解答】解:(1)画出yh(x),yp(x)的图象如图所示:4个函数都是yax(a0,a1)的形式,它们的性质有:定义域为R;值域为(0,+);都过定点(0,1);当a1时,函数在定义域内单调递增,0a1时,函数在定义域内单调递减;a1时,若x0,则0y1,若x0,则y1  0a1时,若x0,则0y1,若x0,则y1;对于函数yax(a0,a1),ybx(b0,b1),当ab1时,若x0,则0axbx1;若x0,则axbx1;若x0,则axbx1当0ab1时,若x0,则axbx1;若x

22、0,则axbx1;若x0,则0axbx1(2)举例:原来有一个细胞,细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个,则经过x次分裂,细胞个数y,则y2x,是一个指数函数【点评】本题主要考查指数函数的性质,指数函数的应用,属于中档题20(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比,其关系如图;投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比,其关系如图(注:收益与投资额单位:万元)()分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系;()该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?【分

23、析】()由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比,结合函数图象,我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系;()由()的结论,我们设设投资债券类产品x万元,则股票类投资为20x万元这时可以构造出一个关于收益y的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解【解答】解:()f(x)k1x,g(x)k2,f(1)k1,g(1)k2,f(x)x(x0),g(x)(x0)()设:投资债券类产品x万元,则股票类投资为20x万元yf(x)+g(20x)+(0x20)令t,则y(t2)2+3所以当t2,即x16万元时,收益最大,ymax3万元【

24、点评】函数的实际应用题,我们要经过析题建模解模还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一21(12分)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且满足f(x+y)f(x)f(y),且f(2)(1)求f(4)的值;(2)当x时,f(kx2)2f(2x5)恒成立,求实数k的取值范围【分析】(1)利用赋值法,xy2求解即可(2)利用已知条件化简不等式为f(kx2)f(2x1),利用函数的单调性,分离变量,通过二次函数的性质求解闭区间上的最值即可【解答】解:(1)令

25、xy2,得:f(2+2)f(2)f(2),即f(4)2(2)2f(2x5)f(4),f(2x5)f(2x1)所以f(kx2)2f(2x5)化为:f(kx2)f(2x1),因为函数 f(x)是定义在R上的增函数,所以kx22x1在x时恒成立,即k在x时恒成立,令y()2+1,x,y有最小值为0所以,k0【点评】本题考查函数与方程的应用,函数的单调性以及二次函数的性质的应用,考查转化思想以及计算能力22(12分)对于区间a,b(ab),若函数yf(x)同时满足:f(x)在a,b上是单调函数;函数yf(x),xa,b的值域是a,b,则称区间a,b为函数f(x)的“保值”区间(1)求函数yx2的所有“

26、保值”区间;(2)函数yx2+m(m0)是否存在“保值”区间?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由【分析】(1)由已知中保值”区间的定义,结合函数yx2的值域是0,+),我们可得a,b0,+),从而函数yx2在区间a,b上单调递增,则,结合ab即可得到函数yx2的“保值”区间(2)根据已知中保值”区间的定义,我们分函数yx2+m在区间a,b上单调递减,和函数yx2+m在区间a,b上单调递增,两种情况分类讨论,最后综合讨论结果,即可得到答案【解答】解:(1)因为函数yx2的值域是0,+),且yx2在a,b的值域是a,b,所以a,b0,+),所以a0,从而函数yx2在区间a,b上单调递增,

27、故有解得又ab,所以所以函数yx2的“保值”区间为0,1(3分)(2)若函数yx2+m(m0)存在“保值”区间,则有:若ab0,此时函数yx2+m在区间a,b上单调递减,所以 消去m得a2b2ba,整理得(ab)(a+b+1)0因为ab,所以a+b+10,即 ab1又所以 因为 ,所以 (6分)若ba0,此时函数yx2+m在区间a,b上单调递增,所以 消去m得a2b2ab,整理得(ab)(a+b1)0因为ab,所以 a+b10,即 b1a又所以 因为 ,所以 因为 m0,所以 (9分)综合 、得,函数yx2+m(m0)存在“保值”区间,此时m的取值范围是(10分)【点评】本题考查的知识点是函数单调性,函数的值,其中正确理解新定义的含义,并根据新定义构造出满足条件的方程(组)或不等式(组)将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键