1、2018-2019学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（）2（4分）不等式（x1）（2x）0的解集为（）Ax|1x2Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|x1或x23（4分）函数y（x1）的最小值是（）A2+2B22C2D24（4分）已知平面向量，的夹角为，|3且|2，则向量（+）（2）的值为（）A2B13C4D3+15（4分）已知sin（）msin（+），且tan2tan，则实数m的值为（）A2BC3D6（4分）已知+t，若A、B、C三点共线，则为（）ABCD27（4分）在等比数列
2、an中，a11，a5+a78（a2+a4），则数列an的前六项和为（）A63B63C31D318（4分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a3，c2，bsinAacos（B+），则ABC的面积是（）AB3CD99（4分）已知数列an的前n项和为Sn，且Snan2+bn，若a73a2，S8a2，则的值为（）A15B16C17D1810（4分）已知在ABC中，D为AC的中点，|2，|cos，1，点P为BC边上的动点，则（+2）最小值为（）A2BCD2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全的，得2分，有选错的得
3、0分。11（4分）已知锐角ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c4，B60，则边b的可能取值为（）A2B3C4D512（4分）对任意平面向量，下列命题中真命题是（）A若则B若，则C|+|D|13（4分）已知a1，0cb1，下列不等式成立的是（）AabacBClogbalogcaD三、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）14（4分）设（1，2），（1，1），+k，若，则实数k的值为 15（4分）已知sin（x），则sin2x的值为 16（4分）若数列an满足a12，且对于任意的m，nN*，都有am+nam+an，则a3 ；数列an前10项的和S10 17（4分）在ABC中，角A
4、、B、C所对应边分别为a、b、c，ABC90，ABC的平分线交AC于点D，且BD2，则a+4c的最小值为 四、解答题（共6小题，满分82分）18（12分）已知向（3，4），（6，3），（3m，4+m）（1）若A、B、C三点共线，求|（2）求OAB的面积19（14分）已知cos（），sin（+），其中0（1）求tan的值（2）求cos（）的值20（14分）已知函数f（x）ax2+bx+1（a0）（1）若f（2+x）f（4x），且对任意的xa，a+3，f（x）ax2恒成立，求实数a的取值范围；（2）求f（1）0，解关于x的不等式f（x）021（14分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态
5、环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元写出an，bn的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22（14分）已知向量（m，cos2x），（sin2x，n），设函数f（x），且yf（x）的图象过点（，）和点（，2）（1）当时，求函数yf（x）的最大值和最小值及相应的x的值；（2）将函数yf（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4
6、倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，若g（x）m在0，2有两个不同的解，求实数m的取值范围23（14分）设an和bn是两个等差数列，记cnmaxa1b1n，a2b2n，anbnn（n1，2，3），其中maxx1，x2，x5表示x1，x2，x5这s个数中最大的数已知Sn为数列an的前n项和，an0，（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求c1，c2，c3的值，并求数列cn的通项公式；（3）求数列cn前n项和Tn2018-2019学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则与相
7、等的向量为（）ABCD【分析】容易看出，四边形BCDO是平行四边形，从而得出【解答】解：根据图形看出，四边形BCDO是平行四边形；BCOD，BCOD；故选：D【点评】考查对正六边形的认识，以及相等向量的定义2（4分）不等式（x1）（2x）0的解集为（）Ax|1x2Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|x1或x2【分析】此题是x的系数不为正的二次不等式，可转化为x的系数为正的整式不等式然后再利用二次不等式的解法即可求解【解答】解：（x1）（2x）0，（x2）（x1）0结合二次函数的性质可得解集为1x2故选：A【点评】主要考查了一元二次不等式的解法的解法，考查运算求解能力、化归与转化思想要保证x的系数
8、均为正，这一点十分重要！3（4分）函数y（x1）的最小值是（）A2+2B22C2D2【分析】先将函数变形可得y（x1）+2，再利用基本不等式可得结论【解答】解：y（x1）+2x1，x10（x1）+2（当且仅当x+1时，取等号）y2+2故选：A【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题4（4分）已知平面向量，的夹角为，|3且|2，则向量（+）（2）的值为（）A2B13C4D3+1【分析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可【解答】解：平面向量，的夹角为，|3且|2，则向量（+）（2）9384故选：C【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查5（4分）已知sin（
9、）msin（+），且tan2tan，则实数m的值为（）A2BC3D【分析】直接利用代入法进行检验，利用三角函数的和角公式和差角公式的应用求出结果【解答】解：利用代入法，当m2时，sin（）2sin（+），整理得sincoscossin2sincos+2cossin，所以sincos3cossin，即tan3tan，故错误当m时，sin（）sin（+），整理得2sincos2cossinsincos+cossin，所以sincos3cossin，即tan3tan，故错误当m3时，sin（）3sin（+），整理得sincoscossin3sincos+3cossin，所以2sincos4cossi
10、n，即tan2tan，故错误当m时，sin（）sin（+），整理得3sincos3cossinsincos+cossin，所以sincos2cossin，即tan2tan，故正确故选：D【点评】本题考察的知识要点：代入法的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式和差角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力6（4分）已知+t，若A、B、C三点共线，则为（）ABCD2【分析】由平面向量中的三点共线问题可得：t，由基本定理及线性运算可得：即2，得解【解答】解：因为+t，且A、B、C三点共线，则+t1，解得t，即，即（）（），即2，即，故选：C【点评】本题考查了平面向量基本定理及线性运算，属中档
11、题7（4分）在等比数列an中，a11，a5+a78（a2+a4），则数列an的前六项和为（）A63B63C31D31【分析】利用等比数列通项公式求出公式q2，由此能求出数列an的前六项和【解答】解：在等比数列an中，a11，a5+a78（a2+a4），1q4+（1）q681q+（1）q3，解得q2，数列an的前六项和为：63故选：B【点评】本题考查等比数列的前6项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，是基础题8（4分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a3，c2，bsinAacos（B+），则ABC的面积是（）AB3CD9【分析】bsinAacos（B+），
12、利用正弦定理、和差公式化简可得B，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：bsinAacos（B+），sinBsinAsinA（cosBsinB），sinA0，sinBcosBsinB，化为：tanB，B（0，），BABC的面积sin故选：A【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（4分）已知数列an的前n项和为Sn，且Snan2+bn，若a73a2，S8a2，则的值为（）A15B16C17D18【分析】推导出数列an是等差数列，由a73a2，解得，由此利用S8a2，能求出的值【解答】解：数列an的前n项和为Sn，且Snan2+bn，
13、数列an是等差数列，a73a2，a1+6d3（a1+d），解得，S8a2，8a1+（a1+d），40d，解得16故选：B【点评】本题考查实数值的求法，考查等差数列的前n项和、通项公式等基础知识，考查运用求解能力，是基础题10（4分）已知在ABC中，D为AC的中点，|2，|cos，1，点P为BC边上的动点，则（+2）最小值为（）A2BCD2【分析】由|cos，|cosB1，结合投影的几何意义，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解【解答】解：由|cos，|cosB1，结合投影的几何意义有：过点A作BC的垂线，垂直E落在CB的延长线上，且BE1，|2，建立如图所示的平面直
14、角坐标系，则A（2，y），B（1，0），C（1，0），D（），设P（x，0），其中1x1，则（+2）（1x，0）（23x，y）（23x）（1x）3x2x2当x时取得最小值故选：C【点评】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示及二次函数最值求解的简单应用，属于知识的简单综合二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全的，得2分，有选错的得0分。11（4分）已知锐角ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c4，B60，则边b的可能取值为（）A2B3C4D5【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得b的范围，讨论b4，
15、b5，结合条件可得所求结论【解答】解：在ABC中，c4，B60，由，可得b，由于0C可得sinC（0，1），即有b2，若b4，则bc，即BC60，ABC为等边三角形，成立；若b5，可得sinC（，），且bc，即BC，即为30C60，即有60A90，成立故选：CD【点评】本题考查三角形的正弦定理和三角形的边角关系，以及锐角三角形的定义，考查分类讨论思想和方程思想，属于基础题12（4分）对任意平面向量，下列命题中真命题是（）A若则B若，则C|+|D|【分析】利用反例判断A的正误；向量相等关系判断B的正误；向量的模的运算法则判断C的正误；利用向量的数量积的性质判断D的正误【解答】解：若则，反例，则与
16、，具有任意性，所以A不正确；若，则，向量向量相等的充要条件，正确；|+|如果，则不等式不成立，所以C不正确；|正确；故选：BD【点评】本题考查向量的数量积以及向量相等等基本知识的应用，命题的真假的判断，是基础题13（4分）已知a1，0cb1，下列不等式成立的是（）AabacBClogbalogcaD【分析】由指数函数的单调性可判断A；由作差法和不等式的性质可判断B；可取a2，b，c，计算可判断C；运用作差法和不等式的性质，可判断D【解答】解：由a1，0cb1，可得abac，故A正确；由a1，0cb1，0，可得，故B错误；由a1，0cb1，可取a2，b，c，logbalog2，logcalog2
17、，可得logbalogca，故C错误；由a1，0cb1，0，可得，故D正确故选：AD【点评】本题考查不等式的性质，考查指数函数的单调性，考查化简运算能力，属于基础题三、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）14（4分）设（1，2），（1，1），+k，若，则实数k的值为【分析】可以求出，根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值【解答】解：；故答案为：【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算15（4分）已知sin（x），则sin2x的值为【分析】利用二倍角的正弦可求得，从而可得sin2x的值【解答】解：sin（x），1sin2x，sin2x故答案为：【点评】本
18、题考查二倍角的正弦，考查诱导公式的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题16（4分）若数列an满足a12，且对于任意的m，nN*，都有am+nam+an，则a36；数列an前10项的和S10110【分析】对于任意的m，nN*，都有am+nam+an，取m1，则an+1ana12，可得数列an是等差数列，首项为2，公差为2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：对于任意的m，nN*，都有am+nam+an，取m1，则an+1ana12，数列an是等差数列，首项为2，公差为2，an22（n1）2na36，数列an前10项的和S10110故答案分别为：6；110【点评】本题考查
19、了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（4分）在ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，ABC90，ABC的平分线交AC于点D，且BD2，则a+4c的最小值为18【分析】根据三角形面积公式找到a，c的关系，结合基本不等式即可求得最小值【解答】解：根据题意，SABCacsinBac，因为ABC的平分线交AC于点D，且BD2，所以SABDBDcsinABDc，SCBDBDasinCBDa，而SABCSABD+SCBD，所以acc+a，化简得，则a+4c（a+4c）（+）10+10+218，当且仅当a2c，即c3，a6时取等号，即最小值为
20、：18故答案为：18【点评】本题考查了三角函数面积公式的应用，基本不等式在求最值中的用法，属于难题四、解答题（共6小题，满分82分）18（12分）已知向（3，4），（6，3），（3m，4+m）（1）若A、B、C三点共线，求|（2）求OAB的面积【分析】（1）计算向量、，由A、B、C三点共线列方程求得m和与|的值；（2）计算、的值，利用模长与夹角的公式求出OAB的面积【解答】解：（1）向量（3，4），（6，3），（3m，4+m），（3，1），（m，8+m），由A、B、C三点共线，得3（8+m）m，解得m6；（9，2），|；（2）因为（3，4），（6，3），所以|5，|3，30，cos，sin，所
21、以OAB的面积为SOAB|sin，53【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角形面积的计算问题，是基础题19（14分）已知cos（），sin（+），其中0（1）求tan的值（2）求cos（）的值【分析】（1）首先利用角的范围利用同角三角函数，进一步利用同角三角函数切化弦思想求出结果（2）利用（1）的结论，进一步利用角的恒等变换的关系式及差角的应用求出结果【解答】解：（1）由于，所以，由已知cos（），整理得，所以则tan（2）由于，所以，由于cos（），sin（+），利用同角三角函数解得故，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的恒等变换的应有，和角公式的应用，主要考察学生的
22、运算能力和转换能力，属于基础题型20（14分）已知函数f（x）ax2+bx+1（a0）（1）若f（2+x）f（4x），且对任意的xa，a+3，f（x）ax2恒成立，求实数a的取值范围；（2）求f（1）0，解关于x的不等式f（x）0【分析】（1）原问题等价为6ax1在xa，a+3恒成立，即6a21，结合a0，即可求解；（2）原不等式变为（ax1）（x1）0，因为a0，所以，分类讨论即可求得解集【解答】解：（1）若f（2+x）f（4x），所以函数对称轴，f（x）ax2，即ax26ax+1ax2在xa，a+3恒成立，即6ax1在xa，a+3恒成立，所以6a21，又a0，故；（2）f（1）0，所以ba
23、1，原不等式变为（ax1）（x1）0，因为a0，所以，所以当a0，即时，解为，当a1时，解集为，当0a1，即时，解为，综上，当0a1时，不等式的解集为，当a1时，不等式的解集为，当a1时，不等式的解集为【点评】本题主要考查不等式的恒成立问题及不等式的解法，考查分类讨论思想，难度不大21（14分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn
24、万元写出an，bn的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【分析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量an，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400（1+）万元，归纳出第n年旅游业收入为400（1+）n1万元从而得出n年内的旅游业总收入bn（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由bnan0，解得n的取值范围即可【解答】解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800（1）万元，第n年投入为800（1）n1万元所以，n年内的总投入为an800+800（1）+800（1）n140001（）n；（
25、3分）第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400（1+）万元，第n年旅游业收入为400（1+）n1万元所以，n年内的旅游业总收入为bn400+400（1+）+400（1+）n11600（）n1（6分）（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即1600（）n140001（）n0化简得5（）n+2（）n70，（9分）设x（）n，代入上式得5x27x+20，解此不等式，得，x1（舍去）即（）n，由此得n5答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入（12分）【点评】本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力2
26、2（14分）已知向量（m，cos2x），（sin2x，n），设函数f（x），且yf（x）的图象过点（，）和点（，2）（1）当时，求函数yf（x）的最大值和最小值及相应的x的值；（2）将函数yf（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，若g（x）m在0，2有两个不同的解，求实数m的取值范围【分析】（1）利用数量积求出函数f（x），再化简函数，求出它的最大最小值以及对应的x值；（2）利用图象向右平移法则求出函数函数yg（x），画出函数图象，利用图象求得m的取值范围【解答】解：（1）由题意知，f（x）msin2x+ncos2x，
27、根据yf（x）的图象过点（，）和（，2），得到，解得m，n1；f（x）sin2x+cos2x2sin（2x+），当x时，2x+，12sin（2x+）2；函数yf（x）的最大值为2，此时x，最小值为1，此时x；（2）将函数yf（x）的图象向右平移个单位后，得函数y2sin2（x）+2sin（2x）的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得函数yg（x）2sin（）的图象，令t，t，如图所示，当sint1时，g（x）m在0，2有两个不同的解，2sin（）2，则实数m的取值范围是m2【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题23（
28、14分）设an和bn是两个等差数列，记cnmaxa1b1n，a2b2n，anbnn（n1，2，3），其中maxx1，x2，x5表示x1，x2，x5这s个数中最大的数已知Sn为数列an的前n项和，an0，（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求c1，c2，c3的值，并求数列cn的通项公式；（3）求数列cn前n项和Tn【分析】（1）由题意可得Sn，运用数列的递推式：n1时，a1S1，n2时，anSnSn1，结合等差数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得bnn，分别代入计算可得c1，c2，c3的值；再判断aknbk递减，可得所求cn的通项公式；（3）求得cn（1n）22n（1n）4n，运用数列
29、的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和【解答】解：（1）an0，即Sn，n1时，a1S1，解得a11；n2时，anSnSn1，可得an2an122an2an1（an+an1）（anan12）0，由an0，可得anan12，an为首项为1，公差d为2的等差数列，可得an1+2（n1）2n1；（2）bnn，c1a1b1110；c2maxa12b1，a22b2max1，11；c3maxa13b1，a23b2，a33b3max2，3，42；当n3时，ak+1nbk+1（aknbk）2n0，可得aknbk递减，则cnmaxa1b1n，a2b2n，anbnna1b1n1n；（3）cn（1n）22n（1n）4n，可得Tn04+（1）42+（2）43+（1n）4n，4Tn042+（1）43+（2）44+（1n）4n+1，相减可得3Tn0+（1）（42+43+4n）（1n）4n+1（1n）4n+1，化简可得Tn【点评】本题考查数列的递推式的运用：求数列的通项公式，考查等差数列的定义和通项公式、等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，以及单调性的判断和运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题