1、2017-2018学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（3，2，5），则线段AB的中点为（）A（1，2，4）B（2，0，1）C（2，0，2）D（2，0，1）2（5分）已知集合P1，0，1，2，3，集合Qx|1x2|，则PQ（）A1B0，1C1，0，1D0，1，23（5分）函数f（x）+ln（1x）的定义域为（）A2，1）B（2，1C2，1D（1，+）4（5分）直线4x3y+60与圆（x4）2+（y+1）225的位置关系是（）A相离B相切C
2、相交且过圆心D相交但不过圆心5（5分）设l，m，n表示不同的直线，表示平面，已知ml，下列结论错误的是（）A若mn，则lnB若mn，则lnC若m，则lD若m，则l6（5分）已知a20180.2，b0.22018，clog20180.2，则（）AcbaBbacCabcDacb7（5分）已知函数f（x）为奇函数，且x0时，f（x）2x+x+m，则f（1）（）ABC2D28（5分）已知直线2xay+10与直线ax8y+20平行，则实数a的值为（）A4B4C4或4D0或49（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点B到平面AB1C的距离是（）ABCD410（5分）已知函数f（x）（x
3、a）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）ax+b的图象是（）ABCD11（5分）三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，AB2，BC，AC，则该三棱锥外接球的表面积为（）A4B8C16D12（5分）已知圆M：x2+y22x10y+250，圆N：x2+y214x6y+540，点P，Q分别在圆M和圆N上，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为（）A7B8C9D10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）0+lg+lg 14（5分）已知圆柱的内切球（圆柱的上下底面及侧面都与球相切）的体积为，该圆柱的体积为 15（5分）已知函数
4、yloga（x+1）2（a0且a1）的图象恒过点P，则经过点P且与直线2x+y10垂直的直线方程为 16（5分）已知函数f（x），若方程f（x）m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则（+）（x3+x4） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知全集UR，集合Ax|x4或x1，Bx|2x4（1）求AB，（UA）B；（2）集合Cx|xa+3，若ACC，求实数a的取值范围18（12分）四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，ABCD1，PA平面ABCD，PAAD（1）求证
5、：PDAB；（2）求四棱锥PABCD的体积19（12分）已知函数f（x）loga（x+2）+loga（2x）（a0且a1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）解关于x的不等式f（x）020（12分）直三棱柱ABCA1B1C1中，AB5，AC3，BC4，点D是线段AB上的动点（1）当点D是AB的中点时，求证：AC1平面B1CD；（2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由21（12分）2018年1曰8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力某
6、科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0x6时，y是x的二次函数；当x6时，y（）xt测得数据如表（部分） x（单位：克）0129y03（1）求y关于x的函数关系式yf（x）；（2）其函数f（x）的最大值22（12分）已知圆E的圆心为（1，0），且截y轴所得的弦长为2（1）求圆E的方程；（2）设圆E与x轴正半轴的交点为A，过A分别作斜率为k1，k2（k1k2）的两条直线交圆E于B，C两点，且k1k22，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点坐标2017-2018学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷参考答案与试
7、题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（3，2，5），则线段AB的中点为（）A（1，2，4）B（2，0，1）C（2，0，2）D（2，0，1）【分析】利用中点坐标公式直接求解【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（3，2，5），线段AB的中点坐标为（2，0，1）故选：D【点评】本题考查线段的中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）已知集合P1，0，1，2，3，集合Qx|1x2|，则PQ（）A1B0，1C
8、1，0，1D0，1，2【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：PQ0，1故选：B【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题3（5分）函数f（x）+ln（1x）的定义域为（）A2，1）B（2，1C2，1D（1，+）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立不等式组求解即可得答案【解答】解：由，解得2x1函数f（x）+ln（1x）的定义域为2，1）故选：A【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题4（5分）直线4x3y+60与圆（x4）2+（y+1）225的位置关系是（）A相离B相切C相交且过圆心D相交但不过圆心【分析】利用圆心到直线的距离与圆的半径的
9、大小关系判断【解答】解：因为圆心（4，1）到直线4x3y+60的距离d5，而圆的半径也为5，因此直线与圆相切故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题5（5分）设l，m，n表示不同的直线，表示平面，已知ml，下列结论错误的是（）A若mn，则lnB若mn，则lnC若m，则lD若m，则l【分析】四个选项中，A，B，D都有定理作保证，显然正确，只有C中缺少一种情况【解答】解：A中涉及平行的传递性，正确；B中平行线中的一条垂直一条直线，则另一条也垂直该直线，故正确；D中平行线中一条垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故正确；C中缺少l在平面内的情况故选：C【点评】此题考查了线线，线面，面面
10、的各种关系，难度不大6（5分）已知a20180.2，b0.22018，clog20180.2，则（）AcbaBbacCabcDacb【分析】由基本初等函数的性质判断可知a1，0b1，c0，则答案可求【解答】解：a20180.2201801，0b0.220180.201，clog20180.2log201810，abc故选：C【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了基本初等函数的性质，是基础题7（5分）已知函数f（x）为奇函数，且x0时，f（x）2x+x+m，则f（1）（）ABC2D2【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）0，结合函数的解析式计算可得m的值，即可得函数的解析式，进而可得f（
11、1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）f（1），即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）为奇函数，且x0时，f（x）2x+x+m，则f（0）20+0+m0，则m1，且当x0时，f（x）2x+x+m，则f（1）2+112，又由函数f（x）为奇函数，则f（1）f（1）2；故选：D【点评】本题考查函数奇偶性的应用，关键是求出m的值，属于基础题8（5分）已知直线2xay+10与直线ax8y+20平行，则实数a的值为（）A4B4C4或4D0或4【分析】由，解得a，并且验证即可得出【解答】解：由，解得a4，经过验证可得：a4时不满足题意，a4故选：B【点评】本题考查了直线平行的充要条件，考查了推理能力
12、与计算能力，属于基础题9（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点B到平面AB1C的距离是（）ABCD4【分析】根据点B到平面AB1C的距离是正方体的体对角线的 ，而正方体的体对角线为，即可求出点B到平面AB1C的距离【解答】解：正方体的体对角线为，而点B到平面AB1C的距离是正方体的体对角线的，点B到平面AB1C的距离为；故选：C【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于基础题10（5分）已知函数f（x）（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）ax+b的图象是（）ABCD【分析】先由函数f（x）的图象判断a，b的范围，
13、再根据指数函数的图象和性质即可得到答案【解答】解：由函数的图象可知，1b0，a1，则g（x）ax+b为增函数，g（0）1+b0，g（x）过定点（0，1+b），故选：C【点评】本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题11（5分）三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，AB2，BC，AC，则该三棱锥外接球的表面积为（）A4B8C16D【分析】以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积【解答】解：如图，PA，PB，PC两两垂直，设PCh，则PB，PA，PA2+PB2AB2，7h2+5h24，解得h2，三棱锥PA
14、BC，PA，PB，PC两两垂直，且PA，PB1，PC2，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心，三棱锥的外接球的半径为R，外接球的表面积为S4R24（）28故选：B【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12（5分）已知圆M：x2+y22x10y+250，圆N：x2+y214x6y+540，点P，Q分别在圆M和圆N上，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为（）A7B8C9D10【分析】|SP|+|SQ|SM|PM|+|SN|QN|SM|+|SN|3，设
15、圆心M（1，5）关于x轴对称的点位M（1，5），|SM|SM|再转化为|MN|的值可求得【解答】解：|SP|+|SQ|SM|PM|+|SN|QN|SM|+|SN|3，设圆心M（1，5）关于x轴对称的点位M（1，5），|SM|SM|，所以|SM|+|SN|3|SM|+|SN|3|MN|337故选：A【点评】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）0+lg+lg【分析】直接利用对数与指数的运算性质即可求出答案【解答】解：原式故答案为：【点评】本题考查对数的运算性质，灵活利用对数的运算性质，是解本题的关键，属于基础题14（5分）已知圆
16、柱的内切球（圆柱的上下底面及侧面都与球相切）的体积为，该圆柱的体积为2【分析】由已知可得球的半径等于圆柱的底面半径，圆柱的高等于球的直径，再由球的体积求得球的半径R1，代入圆柱体积公式，可得答案【解答】解：球内切于圆柱，球的半径等于圆柱的底面半径，且圆柱的高等于球的直径，由球的体积为，可得R1，故圆柱的体积VR22R2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是球与圆柱的体积，根据已知得到球的半径，是解答的关键，是基础题15（5分）已知函数yloga（x+1）2（a0且a1）的图象恒过点P，则经过点P且与直线2x+y10垂直的直线方程为x2y40【分析】求出P的坐标，根据直线的垂直关系求出所求直线的
17、斜率，代入直线公式整理即可【解答】解：令x+11，解得：x0，则y2，故P（0，2），与直线2x+y10垂直的直线的斜率k，故所求直线方程是：y+2x，整理得：x2y40，故答案为：x2y40【点评】本题考查了直线方程问题，考查对数的性质，是一道基础题16（5分）已知函数f（x），若方程f（x）m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则（+）（x3+x4）9【分析】画出f（x）的图象，由对称性可得x3+x49，对数的运算性质可得x1x2x1+x2，代入要求的式子，可得所求值【解答】解：函数f（x）的图象如右：f（x）m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x
18、4，可得x3+x410，且|log2（x11）|log2（x21）|，即为log2（x11）+log2（x21）0，即有（x11）（x21）1，即为x1x2x1+x2，可得（+）（x3+x4）x3+x429故答案为：9【点评】本题考查分段函数的图象和应用，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知全集UR，集合Ax|x4或x1，Bx|2x4（1）求AB，（UA）B；（2）集合Cx|xa+3，若ACC，求实数a的取值范围【分析】（1）解不等式求出集合B，进而可得AB，（UA）B；（2）集合Cx|xa+
19、3，若ACC，则CA，进而a+31，解得实数a的取值范围【解答】解：（1）Bx|2x4x|x2，又集合Ax|x4或x1，所以ABx|x2或x1，（UA）Bx|2x4；（2）因为ACC，所以CA，因为Cx|xa+3，所以a+31，解得a4【点评】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题18（12分）四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，ABCD1，PA平面ABCD，PAAD（1）求证：PDAB；（2）求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）推导出PAAB，ABAD，从而AB平面PAD由此能证明ABPD（2）推导出S梯形ABCD（AB+CD）AD，PA平面
20、ABCD，由此能求出四棱锥PABCD的体积【解答】解：（1）因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，又因为ABAD，ABPAA，所以AB平面PAD又PD平面PAD，所以ABPD解：（2）S梯形ABCD（AB+CD）AD，又PA平面ABCD，所以V四棱锥PABCDPA【点评】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）已知函数f（x）loga（x+2）+loga（2x）（a0且a1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）解关于x的不等式f（x）0【分析
21、】（1）可求出f（x）的定义域为（2，2），求f（x）f（x），从而可判断f（x）是偶函数；（2）先得出，从而由f（x）0可得到，可分别讨论a1，和0a1：a1时，得到不等式4x21；0a1时，得到不等式4x21，解出x的范围即可【解答】解：（1）函数f（x）为偶函数；证明：由得2x2；函数f（x）的定义域为（2，2）；f（x）loga（x+2）+loga（2+x）loga（x+2）+loga（2x）f（x）；函数f（x）为偶函数；（2）；由f（x）0得，；当a1时，4x21，即x23，解得；当0a1时，4x21，即x23，解得；又2x2，或；综上所述，当a1时，不等式的解集为；当0a1时，不
22、等式的解集为【点评】考查对数的真数大于0，函数奇偶性的定义及判断，以及对数函数的单调性，单调性的定义20（12分）直三棱柱ABCA1B1C1中，AB5，AC3，BC4，点D是线段AB上的动点（1）当点D是AB的中点时，求证：AC1平面B1CD；（2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由【分析】（1）取B1C的中点E，由中位线定理可得DEAC1，故而AC1平面B1CD；（2）当CDAB时，可证平面ABB1A1平面CDB1，从而得出AD的长度【解答】解：（1）证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则点E是BC1的中点，
23、又点D是AB的中点，由中位线定理得DEAC1，因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD（2）当CDAB时，平面ABB1A1平面CDB1证明：因为AA1平面ABC，CD平面ABC，所以AA1CD又CDAB，AA1ABA，所以CD平面ABB1A1，因为CD平面CDB1，所以平面ABB1A1平面CDB1，故点D满足CDAB因为AB5，AC3，BC4，所以AC2+BC2AB2，故ABC是以角C为直角的三角形，又CDAB，所以AD【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，掌握空间位置关系的判定定理是证明的关键所在，属于中档题21（12分）2018年1曰8日，中共中央、国务院隆重
24、举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0x6时，y是x的二次函数；当x6时，y（）xt测得数据如表（部分） x（单位：克）0129y03（1）求y关于x的函数关系式yf（x）；（2）其函数f（x）的最大值【分析】（1）当0x6时，y是x的二次函数，可设yax2+bx+c（a0），代入前三组数据，解方程可得a，b，c；当x6时，y（）xt，代入数据x9，y，可得t，即可得到f（x）的解析式；（2）分别运用二次函数的最值求法和
25、指数函数的单调性，即可得到所求最大值【解答】解：（1）当0x6时，由题意，可设f（x）ax2+bx+c（a0），由表格数据可得，解得a，b2，c0所以，当0x6时，f（x）x2+2x当x6时，f（x）（）xt，由表格数据可得f（9）（）9t，解得t7所以当x6时，f（x）（）x7，综上，f（x）（2）当0x6时，f（x）x2+2x（x4）2+4所以当x4时，函数f（x）的最大值为4；当x6时，f（x）（）x7单调递减，所以f（x）的最大值为f（6）（）673因为43，所以函数f（x）的最大值为4【点评】本题考查函数的解析式和最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题22（1
26、2分）已知圆E的圆心为（1，0），且截y轴所得的弦长为2（1）求圆E的方程；（2）设圆E与x轴正半轴的交点为A，过A分别作斜率为k1，k2（k1k2）的两条直线交圆E于B，C两点，且k1k22，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点坐标【分析】（1）设圆E的半径为r，则，由此能求出圆E的方程（2）在（x1）2+y24中，令y0，得A（3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），直线AB的方程为yk1（x3），由，得（+1）x2（6+2）x+0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线BC恒过一定点，定点为（7，0）【解答】解：（1）设圆E的半径为r，则，所以r24，所以圆E的方程为（x1）2+y24证明：（2）在（x1）2+y24中，令y0，得（x1）24，解得x3或x1，所以A（3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），直线AB的方程为yk1（x3），由，得（+1）x2（6+2）x+0，所以，即，所以，所以B（，），因为k1k22，所以，用代替k1，得C（，），所以kBC，故直线BC的方程为y（）（x）整理得y（x），即y（x7），所以直线BC恒过一定点，定点为（7，0）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程过定点的证明，考查圆、直线方程、韦达定理、直线和圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题