1、2017-2018学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共13小题，每小题4分，共52分.1（4分）在平行四边形ABCD中，等于（）ABCD2（4分）设0ab1，cR，则下列不等式成立的是（）Aa3b3BCacbcD（ab）c203（4分）数列1，的一个通项公式an（）ABCD4（4分）已知向量，满足|1，（2+），则（）A2B0C2D45（4分）在等差数列an中，a1+2a3+a512，则3a4a6的值为（）A6B12C24D486（4分）设A，B，C是ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x24x+10的两个实数根，则ABC是（）A等边三角形B等腰直角三角形C钝角三
2、角形D锐角三角形7（4分）已知0x2，则yx的最大值为（）A2B4C5D68（4分）已知在ABC中，AC，AB1，B120，则A的角平分线AE的长为（）A1BC2D9（4分）已知3sin+cos0，则（）A2BCD210（4分）在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2+abc20，若a6，ABC的面积为c，则b的最小值为（）A7B6C5D311（5分）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD12（4分）已知数列an是等比数列，则下列结论中正确的是（）A数列an2是等比数列B若a32，a732，则a58C若a1a2a3，则数列an是递增数
3、列D若数列an的前n和Sn3n1+r，则r113（4分）下列命题中不正确的是（）A已知向量，满足，则B在边长为1等边ABC中，C已知向量，则|+|+2+D点P是ABC 所在平面内一点，若（+），则点P的轨迹经过点P是ABC 所在平面内一点二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）14（4分）设向量（2，2），（1，0），若向量（1，2）与向量共线，则 15（4分）已知数列（bn满足b1+b2+b3+bnn2，则b8 16（4分）已知sin，（，），则sin（+） ，cos2 17（4分）若正实数a，b满足abb+4，则a+b最小
4、值为 18（4分）在ABC中，点M，N满足2，BM，CN交于点D，若x+y，则x+y 三、解答题（本大题共6小题，每小题13分，共78分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤19（13分）已知向量（，1），（，）（）求；（）求（）的值；（）求|2+3|的值20（13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为ab，c，且满足（）求角C的值；（）若sin（+C）（），求cos的值21（13分）已知函数f（x）xm22，g（x）m（xm4）（）若x2，3，g（x）0恒成立，求m的取值范围；（）若m0，解关于x的不等式f（x）g（x）022（13分）已知等差数列an的公差
5、不为零，a12且a2，a4，a8成等比数列（）求数列an）的通项公式；（）若数列bn满足bn，bn的前n项和为Tn，求Tn23（13分）某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为北l1，l2公园管理中心位于点O正南方2km，l1上的A处，现计划在l1即点O北偏东45方向，观光路l2路旁B处修建一公园服务中心（）若为方便管理，使AB两点之间的直线距离不大于2km，求OB长度的取值范围；（）为了方便市民活动，拟在l1，l2上分别选点M、N，修建一条小路MN因环境需要，以O为圆心，km为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M，N的位置，使M，N之间的距离最短24（13
6、分）设数列an的前n项和为Sn，且a11，n2时（n1）Sn2nSn1+n（n1）（）证明+1为等比数列，并求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b12，当n2时bn，求+的值2017-2018学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共13小题，每小题4分，共52分.1（4分）在平行四边形ABCD中，等于（）ABCD【分析】根据向量加法的三角形法则及相反向量和向量减法的定义，可得答案【解答】解：平行四边形ABCD中，故选：B【点评】本题考查的知识点是向量加减法的混合运算，难度不大，属于基础题2（4分）设0ab1，cR，则下列不等式成立的是（）Aa3b3BCac
7、bcD（ab）c20【分析】利用特殊值即可判断【解答】解：由0ab1，可设a，b对于A：（）3（）3，A不对；对于B：，B不对；对于C，当c0时，可得acbc，C不对；对于D：当c0时，c20，（ab）c20，当c0时，c20，（ab）0，（ab）c20D对；故选：D【点评】本题考查了不等式的性质和特殊值的利用判断比较基础3（4分）数列1，的一个通项公式an（）ABCD【分析】由数列：1，可知：奇数项的符号为“+”，偶数项的符号为“”，每项的绝对值为即可得出【解答】解：由数列：1，可知：奇数项的符号为“+”，偶数项的符号为“”，每项的绝对值为数列：1，的一个通项公式是an故选：B【点评】本题考
8、查了通过观察求数列的通项公式，考查了推理能力，属于基础题4（4分）已知向量，满足|1，（2+），则（）A2B0C2D4【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：向量，满足|1，（2+），2+0，2故选：C【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式、向量垂直等基础知识，是基础题5（4分）在等差数列an中，a1+2a3+a512，则3a4a6的值为（）A6B12C24D48【分析】利用等差数列通项公式得a1+2a3+a54a312，3a4a63（a1+3d）a15d2a1+4d2a3，由此能求出结果【解答】解：在等差数列an中，a1+2a3+a512，a1+2a3+a54a312
9、，解得a33，3a4a63（a1+3d）a15d2a1+4d2a36故选：A【点评】本题考查等差数列中两项差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（4分）设A，B，C是ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x24x+10的两个实数根，则ABC是（）A等边三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D锐角三角形【分析】利用韦达定理，结合正切的和与差公式即可判断【解答】解：tanA，tanB是方程3x24x+10的两个实数根，可得tanA+tanB，tanAtanBA+BC，tanCtan（A+B）20，则ABC是钝角三角形故选：C【点评】本题考查三角
10、形形状的判断，考查正切的和与差公式的运用，考查二次方程的韦达定理和运算能力，属于基础题7（4分）已知0x2，则yx的最大值为（）A2B4C5D6【分析】由0x2，结合重要不等式ab，当且仅当ab取得等号，计算即可得到所求值【解答】解：0x2，可得4x20，则yx2，当且仅当x24x2，即x时，上式取得等号，即有函数y的最大值为2故选：A【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用重要不等式，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题8（4分）已知在ABC中，AC，AB1，B120，则A的角平分线AE的长为（）A1BC2D【分析】利用余弦定理求解BC，在结合正弦定理建立比值关系可得答案【解答】解：
11、在ABC中，由余弦定理：AC，AB1，B120cos120，可得BC1即ABC是等腰三角形可得AC30AE是A的角平分线，BAE15那么AEB45如图：在ABE中，正弦定理，可得：AE故选：D【点评】本题考查了三角形内角和定理和正余弦定理的应用9（4分）已知3sin+cos0，则（）A2BCD2【分析】由已知求得tan，再由诱导公式及倍角公式化弦为切求解的值【解答】解：由3sin+cos0，得tan，故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是中档题10（4分）在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2+abc20，若a6，ABC的面积为c，
12、则b的最小值为（）A7B6C5D3【分析】根据a2+b2+abc20，结合余弦定理求解C的范围，a6，ABC的面积为c，利用面积公式建立邓海鸥关系，结合余弦定理和C的范围，可得b的最小值【解答】解：由题意，a2+b2+abc20，a2+b2c2ab，cosC，又C（0，），0sinC，0sin2C，又SABCabsinCc，且a6，c2bsinC；由余弦定理可得c2a2+b22abcosC，4b2sin2C36+b212bcosC，即（4sin2C1）b2+12bcosC360；a2+b2+abc2，3abc24b2sin2Cbsin2C，因此b6故选：B【点评】本题考查了余弦定理的灵魂应用，
13、熟练掌握余弦定理是解本题的关键考查了推理能力、计算能力，属于中档题11（5分）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数不等式a2+b22ab的使用条件是a，bR【解答】解：对于A；a2+b22ab所以A对对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错ab0故选：AD【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等12（4分）已知数列an是等比数列，则下列结论中正确的是（）A数列an2是等比数列B若a32，a732，则a58C若a1a2a3，则数列an
14、是递增数列D若数列an的前n和Sn3n1+r，则r1【分析】在A中，数列an2是等比数列；在B中，a58；在C中，若a1a2a3，则q1，数列an是递增数列；在D中，r【解答】解：由数列an是等比数列，知：在A中，q2是常数，数列an2是等比数列，故A正确；在B中，若a32，a732，则a58，故B错误；在C中，若a1a2a3，则q1，数列an是递增数列，故C正确；在D中，若数列an的前n和Sn3n1+r，则a1S11+r，a2S2S1（3+r）（1+r）2，a3S3S2（9+r）（3+r）6，a1，a2，a3成等比数列，46（1+r），解得r，故D错误故选：AC【点评】本题考查命题真假的判断
15、，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题13（4分）下列命题中不正确的是（）A已知向量，满足，则B在边长为1等边ABC中，C已知向量，则|+|+2+D点P是ABC 所在平面内一点，若（+），则点P的轨迹经过点P是ABC 所在平面内一点【分析】由向量数量积不满足消去率，可判断A；运用向量数量积的定义可判断B；由向量的平方即为模的平方可判断C；讨论是否为0，结合向量共线和平行四边形法则，可判断D【解答】解：对于A，向量，满足，则，不正确，可能，不等，但（）；对于B，在边长为1等边ABC中，11cos60，故B正确；对于C，向量，则|+|+2+错误，应为|+|；
16、对于D，点P是ABC所在平面内一点，若（+），若0，则点A与P重合；若0，则AP平分BAC，P点在BAC的角平分线上，故D不正确故选：ACD【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）14（4分）设向量（2，2），（1，0），若向量（1，2）与向量共线，则1【分析】由已知求得的坐标，再由向量（1，2）与向量共线列式求解值【解答】解：（2，2），（1，0），（2，2），又向量（1，2）与向量共线，2（2）20，得1故答案为：1【点评】本题考查平面向量坐标减法及数乘运算，考查向量共线的坐标运算，是基础题15（4
17、分）已知数列（bn满足b1+b2+b3+bnn2，则b8225【分析】数列（bn满足b1+b2+b3+bnn2，n2时，b1+b2+b3+bn1（n1）2，相减可得：bn（2n1）2即可得出【解答】解：数列（bn满足b1+b2+b3+bnn2，n2时，b1+b2+b3+bn1（n1）2，bnn2（n1）2，化为：bn（2n1）2则b8152225故答案为：225【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力、计算能力，属于中档题16（4分）已知sin，（，），则sin（+），cos2【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，再利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得sin（+
18、）和cos2的值【解答】解：sin，（，），cos，则sin（+）sincos+cossin+（），cos212sin212，故答案为：；【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题17（4分）若正实数a，b满足abb+4，则a+b最小值为5【分析】在等式abb+4同时除以b得，代入a+b可利用基本不等式求出a+b的最小值【解答】解：在等式abb+4两边同时除以b得，所以，当且仅当时，即当b2时，等号成立，因此，a+b的最小值为5，故答案为：5【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键就是对代数式进行合理配凑与变形，属于中等题18（4分
19、）在ABC中，点M，N满足2，BM，CN交于点D，若x+y，则x+y【分析】x+y，+.a+，由N，D，C三点共线，B，D，M三点共线，可得x+y【解答】解：x+y，+.a+，x+y故答案为：【点评】本题考查了向量的线性运算，利用三点共线的向量式特征是解题关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，每小题13分，共78分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤19（13分）已知向量（，1），（，）（）求；（）求（）的值；（）求|2+3|的值【分析】（）直接利用向量的数量积和夹角公式求出结果（）利用向量的模的运算求出结果（）利用向量的模的运算求出结果【解答】解：（）向量（，1），（，）则：，所
20、以：，由于：，所以：（）由于：（，1），（，）则：，所以：（）（）由于，所以：|2+3|【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的模的运算，及向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20（13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为ab，c，且满足（）求角C的值；（）若sin（+C）（），求cos的值【分析】（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得2sinAcosCsinA，结合sinA0，可求cosC，结合范围0C，利用特殊角的三角函数值可求C的值（）由已知可求范围+，利用同角三角函数基本关系式可求cos（+C）的值，进而根据两角差的余弦函数公式可求c
21、os的值【解答】（本题满分为12分）解：（），可得（2ab）cosCccosB，由正弦定理可得：（2sinAsinB）cosCsinCcosB0，可得：2sinAcosCsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA，A为三角形内角，sinA0，cosC，0C，C6分（）C，sin（+C）（），+，cos（+C），9分coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin（）12分【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21（13分）已知函数f
22、（x）xm22，g（x）m（xm4）（）若x2，3，g（x）0恒成立，求m的取值范围；（）若m0，解关于x的不等式f（x）g（x）0【分析】（I）由已知只须，结不等式可求；（）由f（x）g（x）0，可得m（xm4）（xm22）0，根据二次不等式的解法，分类讨论m+4与2+m2的大小进行求解【解答】解：（I）若x2，3，g（x）0恒成立，则只须，解得，1m0，（）当f（x）g（x）0，即m（xm4）（xm22）0，令m（xm4）（xm22）0，可得xm+4，或x2+m2，m2+2m4m2m2（m2）（m+1）m2时，m2+2m+4，不等式的解集为x2+m2或xm+4，0m2时，m2+2m+4，不
23、等式的解集为x2+m2或xm+4，综上可得，当m2时，m2+2m+4，不等式的解集为x|x2+m2或xm+4， 当0m2时，m2+2m+4，不等式的解集为x|x2+m2或xm+4，【点评】本题主要考查了函数在闭区间上恒成立问题的求解，解题中要注意对端点值的处理，含有参数的二次不等式的求解中要注意分类讨论思想的应用22（13分）已知等差数列an的公差不为零，a12且a2，a4，a8成等比数列（）求数列an）的通项公式；（）若数列bn满足bn，bn的前n项和为Tn，求Tn【分析】（）等差数列an的公差d不为零，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（）求得bn
24、n4n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：（）等差数列an的公差d不为零，a12且a2，a4，a8成等比数列，可得a42a2a8，即（2+3d）2（2+d）（2+7d），解得d2（0舍去），则an2+2（n1）2n；（）bnn4n，Tn14+242+343+n4n，4Tn14+242+343+n4n+1，相减可得3Tn4+42+43+4nn4n+1n4n+1，化简可得Tn【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题23（13分）某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两
25、条观光路为北l1，l2公园管理中心位于点O正南方2km，l1上的A处，现计划在l1即点O北偏东45方向，观光路l2路旁B处修建一公园服务中心（）若为方便管理，使AB两点之间的直线距离不大于2km，求OB长度的取值范围；（）为了方便市民活动，拟在l1，l2上分别选点M、N，修建一条小路MN因环境需要，以O为圆心，km为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M，N的位置，使M，N之间的距离最短【分析】（）在ABO中，根据余弦定理，可求OB的范围；（）依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC，则OCMN，利用面积求出ab，由余弦定理得，c2a2+b22abcos135（
26、2+）ab（2+）c，即可得出结论【解答】解：（）在ABO中，OA2，OBx，AOB1350，根据余弦定理得，AB2OA2+OB22OAOBcos135，22+x22x2（）（2）2，即x2+2x160，解得4x2，x0，0x2OB长度的取值范围为0，2（）依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC，则OCMN设OMa，ONb，MNc，在OMN中，MNOCOMONsin135，cab，即cab，由余弦定理得，c2a2+b22abcos135a2+b2+ab（2+）ab（2+）c，解得c2+，当且仅当ab时，c取得最小值2+所以M，N与点O的距离均为km时，M，N之间的距离最短，最短距离
27、为（2+）km【点评】本小题主要考查解三角形、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等24（13分）设数列an的前n项和为Sn，且a11，n2时（n1）Sn2nSn1+n（n1）（）证明+1为等比数列，并求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b12，当n2时bn，求+的值【分析】（）利用递推关系式求出数列的通项公式（）利用（）的结论首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（）数列an的前n项和为Sn，且a11，n2时（n1）Sn2nSn1+n（n1）所以：，整理得：，即：，所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列，则：，当n2时，anSnSn1（n+1）2n11，当n1时a11（符合通项），故：，（）数列bn满足b12，当n2时bn，由于：，所以：2n，当n1时，b12（符合通项），故：bn2n所以：（），所以：，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，数列的通项公式的求法及应用，裂项求和法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题